Transformée de Laplace de la fonction delta de dirac

dans la vidéo précédente j'étais présente est probablement une des fonctions les plus étranges que tu as rencontré jusqu'à maintenant c'était la fonction de d'irak où l'impulsion de dirac et je les définit comme alors je vais directement on te présenter la transe la t27 fonctions on la définit comme la fonction delta de thé - c'est qui est égal à qui est égal à zéro si tu est différent de ces et plus l'infini cité égal c'est alors il faut qu'on fasse bien attention avec ce plus l'infini là parce qu'on a vu qu'il y à différents degrés d'infini qu'on peut multiplier sa part des facteurs pour obtenir une fonction de dirac avec un pic encore plus haut donc je vais laisser ce plus n'a fini entre guillemets comme ça donc ça c'est quand tu es est égal à c et plus important encore c'est que l'intégrale de moins l'infini à + l'infini donc l'air sous la courbe surtout lax d'été sur l'ensemble des réelles et bien sûr ses terres vos héros quand tu es est différent de c'est donc cet air c'est égal à la fonction delta de thé - cdt et ça c'est un point important cette terre vaut 1 et c'est pour ça que j'ai mis des guillemets autour de plus cela fini parce que si j'ai deux fois la fonction de dirac et que je cherche nerfs sous cette courbe g l'intégrale de moins l'infini à + l'infini de deux fois la fonction d'état de témoins c'est d2t ça c'est égal on peut sortir le 2 on a deux fois l'intégrale de moins l'infini à + l'infini de notre fonction du d'irak et ça par définition c'est égal à 1 on a donc deux fois 1 donc de donc si j'écris de ici cet infini ici devra d'être deux fois plus aux deux fois plus grand puisque l'air est maintenant égale à 2 et c'est une fonction intéressante j'en ai parlé à la fin de la vidéo précédente parce qu'elle nous permet de modéliser par exemple des forces qui s'exercent d'un seul coup sûr un objet mais dont l'impulsion fx mais on laisse ça de côté pour l'instant et on va continuer à explorer les mathématiques de la fonction de dirac voyons pour commencer ce qu'il se passe dans la transformer de la place d'une fonction quand on multiplie cette fonction par la fonction de dirac on a notre fonction de dirac encore une fois après translation delta de thé - cé et si tu veux juste la fonction de dirac initial il te suffit de dire que c'est égal à zéro on multiplie sa part une fonction fdt et si je veux juste la transformer de la place de cette fonction d'état je pose fdt est égal à 1 on cherche la transformer de la place de ce produit là par définition la transformer de la place c'est l'intégrale de 0 à + l'infini exponentielle de - péter et ça ça fait juste partie de la définition de la transformer de la place fois notre fonction ici alors je vais juste changer l'autre jeu mais f de thé en premier x delta de témoins cdt maintenant pour la suite je vais faire appel à ton intuition si on veut être rigoureux est formel la fonction de directeur pierre beaucoup d'outils mais je pense qu'un tweet ivement on peut quand même arriver à faire quelque chose alors je vais commencer par représenter ce dont on cherche l'intégrale ici alors je dessine mais sachs la kz2 t d'abord et on s'intéresse qu'aux valeurs entre 0 et plus cela finit donc je trace que cette partie de l'axé des abscisses la partie positive de l'axé des abscisses et on fait l'hypothèse que c'est ici que c'est strictement positive c'est à dire que la fonction de dirac sort sur cette portion positive de l'axé des abscisses alors déjà à quoi est-ce que cette première partie ressemble à quoi est-ce que exponentielle de - péter fois fdt ressemble alors exponentielle de - péter ça commence à 1 et ce à des croix mais on multiplie sa part une fonction fdt qui pourrait être n'importe quelle fonction alors je vais juste dessiné ça comme ça ça assez la fonction exponentielle de - péter fois fdt et cfdt qui donne cette forme à cette courbe maintenant on trace la fonction de dirac qui vaut 0 2 partout pour 0 2 partout sauf à c'est ici cc où on a un pic qui monte vers l'infini mais on dessine seulement une flèche comme ça qui va jusqu'à en une flèche de longueur en pour montrer que son maire c'est normalement quand on trace des courbes on et dessine pas de flèches mais cette flèche de longueur 1 c'est pour montrer que cette impulsion infiniment grande à une r21 donc on a un ici sauf qu'ici on cherche l'air sous toute cette fonction là alors qu'est-ce qu'il se passe si on multiplie ses deux fonctions si on multiplie sa foi ça alors ici on a la fonction de tir a qu'à la fonction des tas témoins c'est si on multiplie sa part ça qu'est ce qu'on obtient et là on va faire appel à notre intuition alors je trace à nouveau mes actes l'acce des abscisses t et l'axé des ordonnées alors qu'est-ce qu'il se passe quand on multiplie ses deux fonctions et bien quand tu es est différent de ces la fonction de dirac vaut zéro donc on a zéro fois quelque chose et peu importe par quoi on multiplie 0 en fait parce que ça va être zéro dans tous les cas donc ce produit va être égal à zéro de partout sauf quand est égale sait on assez ici donc ce produit vaut 0 2 partout sauf comté est égal à ces ou quelque chose d'intéressant on va se passer alors à thé égal c'est combien vaut cette fonction là ça va être égal à la fonction delta fois cette fonction-là alors à ce point là ce point là cette valeur là c'est la valeur de cette fonction kanté est égal ac c'est exponentiel de - p fois c'est donc quoi f2c donc si par exemple cette valeur la c5 le produit de ces deux fonctions c'est 5 fois la fonction de dirac pour ici ce n'est pas 5 1 c'est plus abstrait mais je vais dessiner ça j'ai une fonction tel tas a grandi vous diminuez d'ailleurs selon la valeur de cette expression là donc maintenant cette nouvelle impulsion c'est exponentiel de moins p x cfdc et saha salaires tordu mais en fait c'est juste un nombre par exemple ça peut être cinq comme je l'aï dit avant on a plus de thé là dedans donc c'est juste une constante se paie là devient quelque chose quand on est dans la transformer de la place mais là on a juste une constante donc fois notre fonction delta de thé - ici c'est un c1 quand je multiplie sa part ça tout ce qu'on obtient c'est ça et cette impulsion se piquent tend toujours vers l'infini sauf qu'on la redimensionner de telle façon que son air n'est plus égale à 1 alors justement quel et l'intégrale de cette fonction-là cette intégrale de 0 à + l'infini c'est la même chose que l'intégrale de 0 à plus infinie de cette fonction là c'est égal l'intégrale de 0 à plus à l'infini taux exponentiel de - pcf décès fois notre fonction delta delta de thé - cdt et je suis donc en train de te dire que ça c'est équivalent à ça parce que de partout la fonction de d'irak at nuls sept autres fonctions là sauf à thé et gacé et donc on ne s'intéresse à cette fonction exponentielle de - péter fois f de thé cette fonction là que quand tu es est égal à c est à ce point là quand égal c'est ça devient une constante on peut donc sortir sa de l'intégrale on a donc exponentielle de - pcf de cette fois l'intégrale de 0 à + l'infini de la fonction delta tout est moins cdt mais rappelle toi qu'est-ce qu'on a là par définition cette intégrale vaut un bon par définition c'est l'intégrale de moins l'infini à plus cela fini mais ça n'a pas d'importance parce que l'air vaut en un conte t est égal à c et on a dit que c'est c'est positif et donc cette longue intégral là est réduite à sa exponentielle de - pcf en f2 c'est parce que ça c'est juste égal à 1 donc la transformer de la place de la transe lattes et de la fonction de dirac fois une autre fonction c'est égal à exponentielle 2 - 1 pc voit f2c alors je verrai écrire ça correctement en une seule ligne donc la transformer de la place de delta de thé - c'est fois fdt c'est égal à exponentielle de - pc fois f2 c est à partir de laquelle et la transformer de la place de notre fonction de dirac de base c'est-à-dire delta 2 t et bien dans ce cas c'est est égal à 0 1 et fdt est égal à 1 donc dans ce cas on a exponentielle de - p x 0 x 1 et ça c'est égal à 1 donc la transformer de la place de notre fonction d'eux direct de base delta de thé c'est en effet plutôt sympa comme résultat ensuite la transformer de la place de la fonction delta après translation d'état de thé - 2 et ça c'est juste un cas particulier quand eve de thé égalant n'est ce pas on pourrait écrire et 6 x 1 donc ça c'est égal à exponentielle de - p ces foires un donc juste exponentielle de - p c est donc juste comme ça sans démonstration rigoureuse mais seulement avec un peu d'intuition et de visualisation on vient de déterminer la transformer de la place de quelques situations différentes qui implique la fonction de dirac j'espère que tu a apprécié et je t'ai dis à bientôt