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Transformation "changeante" en multipliant une fonction par une exponentielle

Méli-mélo de choses à savoir sur la transformation de Laplace. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

maintenant il est temps d'ajouter quelques notations et de définir quelques propriétés de la transformation de la place la première chose que je veux faire ici c'est te présenter une façon un peu rapide de déterminer la transformer de la place de la dérive et d'une fonction si je veux déterminer la transformer de la place de la dérivée seconde de y eh bien on a vu que la transformer de la place de la dérive est première de y c'est égal ap fois la transformer de la place de y - y 2 0 on a utilisé cette propriété dans les deux vidéos précédentes pour déterminer des transformé de la place des dérivés secondes et on a vu que la transformer de la place de la dérivée seconde de y est égal à p fois la transformer de la place de la dérive est première de y - y prime 2 0 et on a aussi vu que l'on peut utiliser cette définition de la transformer de la place de y prime que l'on peut substituer hills ce qui nous donne paix fois la transformer de la place de y - y 2 0 ensuite jure écrit ce qu'il y avait autour on a payé fois s'est transformé de la place de y primes - y prime 2 0 et ça c'est donc la transformer de la place de y seconde en développant on obtient et encore une fois on a déjà fait tout ça paie au carré fois la transformer de la place de y - p x y 2-0 - y prime 2 0 maintenant il ya quelque chose d'intéressant que tu devrais connaître et qui va te permettre de faire cette manipulation plus rapidement en évitant les possibles faute d'inattention regarde quand on cherche la transformer de la place de la dérivée seconde de y qu'est ce qu'on obtient paix au carré ici on avait la dérivée seconde main ont ap au carré fois la transformer de la place de y - p x y 2 0 - 1 x y prime 2 0 on commence avec paix au carré et terme après terne la puissance de paix diminuons nappes et à la puissance inde pays si et hong ap à la puissance 0 donc un ici et tous les termes sont négatifs sauf le premier avec paix au carré et puis on commence avec la transformer de la place et on peut presque dire que c'est une intégrale et donc c'est presque comme si on avait ensuite la dérive et y est on dérive encore une fois et on obtient y prime alors bien sûr ces deux termes ne sont pas des fonctions c'est la valeur de ses fonctions à 0 mais c'est une bonne façon j'espère pour que tu te rappelles comment faire ça et quand tu as ça en tête qu peut obtenir la transformer de la place de n'importe quelle fonction ou de ses dérivés très rapidement par exemple on cherche la transformer de la place de la dérive et 4e de et graco la dérive et de y d'ordre 4 si on veut se lancer dans cette première méthode de substitution d'abord ça va prendre du temps et puis il ya de fortes chances qu'on fasse des erreurs d'inattention mais en suivant cette construction là ça va nous permettre de sauter des étapes donc si on veut la transformer de la place de la dérive est d'ordre 4-2 y en fonction de la transformer de la place de y on a b à la puissance 4 fois la transformer de la place de y maintenant tous les termes suivants doivent être négatif ensuite paix alors on diminue le degré de paix en a maintenant mais à la puissance 3 ensuite on a en quelque sorte la dérive et de ça alors c'est pas vraiment la dérive et un puisque la transformer de la place n'est pas la primitive de y de 0,1 mais je pense que tu sais il aider - on continue p o car est donc paix à la puissance 3 - 1 fois la valeur des grecs prime à 0 ensuite on a juste - p x y secondes 2 0 et enfin dernier terre paix à la puissance 0 donc un fois la dérive et troisième de y à zéro donc la dérive et troisième de y à 0 et j'espère que maintenant tu comprends en quoi c'est une méthode bien plus efficace pour déterminer la transformer de la place de n'importe quelles dérives et de y puisqu'on peut utiliser cette construction pour n'importe quel ordre de dérivation alors je voulais aussi aborder une question de notation c'est quelque chose que tu vas sans doute rencontré alors c'est bien que tu commence à s'y habituer et puis ça va aussi te permettre de gagner un peu de temps au lieu d'écrire à chaque fois le l majuscule les accolades de la transformer de la place parce que au lieu d'écrire la transformer de la place de la fonction y de thé avec le l majuscule les accolades et cetera on peut écrire est en fait d'ailleurs on écrit souvent ça comme une fonction de paix une fonction grant y/y majuscule 2 p et ça ça se tient parce que habituellement on note l'intégrale de 0 à 6 fdx on note sa grande nef 2x donc en quelque sorte on emprunte cette notation de primitives parce que cette fonction de p c'est un peu comme l'intégrale de y de thé on peut voir la transformer de la place un peu comme un type particulier d'intégrale avec au milieu une fonction exponentielle qui change un peu les choses enfin bref je voulais juste que tu sois au courant de ça pour coup quand tu rencontreras à ceux y majuscule de paix tu saches que c'est la même chose que la transformer de la place de y doté de la même façon la transformer de la place de f2 t c est égal à grant f2p alors comment faire la différence avec une primitive et bien c'est parce qu'on a ce pays si comme variables indépendantes alors j'ai encore une propriété fascinante de la transformation de la place à te faire découvrir quelle est la transformer de la place de la fonction exponentielle à thé x fdt alors la définition de cette transformer c'est l'intégrale de 0 à plus d'un fils et de exponentielle de - péter fois exponentielle à tf2 t1 ce qu'il y à entre les accolades d'été maintenant on peut ajouter ces exposants c'est égal à l'intégrale de 0 à + l'infini de exponentielle 2 alors je pourrais écrire à - paix mais je vais écrire - paix - à foix t1 c'est la même chose si tu distribues le - f2 ddt alors si je cherchais juste la transformer de la place de f2 t7 égale à une fonction de paix n'est ce pas et la définition de cette transformé de la place et l'intégrale de 0 à + l'infinité exponentielle de moins ptf de tdt la transformer de la place de fdt seulement c'est égal à ça ce qui est une fonction de paix et la transformer de la place de exponentielle de à tf2 t c'est ça quelle est la différence entre les deux eh bien il n'y a pas beaucoup de différence ici on ap et ici on a p - a donc si ça c'est une fonction de p qu'est-ce que ça ça va être ça va être la même fonction mais au lieu d'avoir une fonction de p on va avoir une fonction de paix - a comment est ce que j'ai obtenu sa et bien la transformer de la place de f dts est une fonction de p et c'est égal à ça si je remplace peppard pmoi à dans cette expression j'obtiens ça ce qui est une fonction de p mois ce qui était au départ la transformer de la place de exponentielle de hâter fdt peut-être que satan brouillon peut on va voir ça avec un exemple on cherche à transformer de la place de cosinus de 2 t évidemment c'est une fonction de paix et on a déjà montré que c'est égal ap / paix au carré +4 et donc la transformer de la place de exponentielle de je sais pas disons 3t fois caussinus de 2 t c'est égal à la même fonction mais à la place de paix on ap moi c'est à dire peu moins 3 c'est donc égale à p - 3 / p - 3 au carré +4 alors voilà quand on multiplie une fonction par exponentielle des athées et qu'on cherche la transformer de la place de ça on obtient la même chose que la transformer de la place de cette fonction sauf que là où on avait un p et bien on a maintenant paix - a je te laisse réfléchir à tout ça et je te retrouves dans la prochaine vidéo