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Racines complexes des équations caractéristiques 1

Que se passe-t-il quand les équations caractéristiques ont des racines complexes ?! Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

dans les vidéos précédentes on a vu que quand on a une équation différentielle d'ordre 2 à coefficient constant linéaire homogène du type a à x y seconde plus p x y prime plus c'est x y égal zéro alors son équation caractéristique c'est à foix et rocard et plus br plus c'est égal 0 et si les racines de cette équation caractéristiques existe parmi les réels on a donc deux solutions parmi les réelles c'est r1 et r2 donc r1 r2 sont donc des nombre réel est donc la solution générale de cette équation différentielle et je t'invite à regarder à nouveau les vidéos précédentes si tu ne te rappelles pas comment on arrive à cette solution donc la solution générale c'est y égal c'est un une constante fois exponentielle de ra notre première racine x x plus c'est d'une autre constante fois exponentielle des airs de la deuxième racines x x et on a résolu quelques exemples de ce type là dans les vidéos précédentes maintenant la question que je te pose ici c'est et s'il n'existe pas de racines réel si les racines sont des nombres complexes juste pour rappel qu'est ce que ça veut dire les racines sont des nombres complexes imagine conçoit trop paresseux pour essayer de factoriser cette équation caractéristiques on utilise donc la formule des racines d'un polinum parce que ça marche à tous les coups donc les racines de cette équation caractéristiques sont air un égal moimbé plus racine carrée de paix au carré - 4 as et tout ça sur 2 ha et r2 qui est égal à - b - racine carrée de bo carré - 4 assez sûrs d'eux art mais qu'est ce que je veux dire quand je dis qu'il n'existe pas de racines réel et bien si cette expression sous la racine carrée paix au carré - qu'a tracé est négative ça peut dire qu'on a racine carrée d'un nombre négative et donc ça ça n'existe pas dans l'ensemble des réelles puisque c'est un nombre imaginaire et donc toute cette expression puis cette expression aussi devient un nombre complexe avec une partie réelle et une partie imaginaire et d'ailleurs les deux racines r1 et r2 sont les conjuguer l'un de l'autre alors on peut réécrire r1 et r2 pour mettre ça en évidence on a r 1 alors on va séparer la partie réelle de la partie imaginaire on a moins b sur deux a plus racine carrée de paix au carré - 4 assez sûrs d'eux va et puis on a r2 qui est égal à - b sur deux arts - racine carrée de paix au carré - 4 assez sûrs d'eux a et donc si bo carré et -4 ac est inférieure à 0 on a là en nombre imaginaire et on va commencer par voir à quoi ressemblent ces racines sous leur forme générale et on s'entraînera ensuite avec des exemples donc je vais changer de couleur je vais écrire ça en bleu clair donc dans le cas où on a des racines complexe alors ses racines sont r1 alors je garde la même notation r1 et r2 pour ne pas s'embrouiller avec trop de lettres différentes mais peut-être que dans les livres tu trouveras d'autres notations comme lambda mais ça n'a vraiment pas d'importance donc r17 et gala alpha un nombre une constante c'est ce terme-là plus et un nombre imaginaire fois bêta une constante et puis merde tu l'a deviné c'est alpha - i fois bêta encore une fois je te propose ici alpha et bêta puisque ce sont les lettres utilisées par convention mais il est possible que tu tombes sur d'autres notations et donc voilà nos deux racines complexe conjuguer 6b au carré et -4 ac est inférieure à 0 alors maintenant voyons ce qu'il se passe quand on substitue ces deux racines dans notre solution générale on a y égale c1 fois exponentielle alors je change d'écriture parce que ça commence à être chargé pour garder ça en exposant donc j'écris exponentielle comme ceux ci à la place du 1e que j'avais ici mais c'est la même chose donc exponentielle de la première racine complexe alpha plus yb est à x x plus ces deux fois exponentielle de la deuxième racines complexe alpha - yb et à x x alors voyons comment on peut simplifier ça parce que le ici il rend les choses un peu tordu alors on va voir si on peut faire quelque chose pour simplifier ou carrément peut-être pour nous en débarrasser on va faire quelques manipulations on va commencer par distribuer les x on a donc y égal c'est un x exponentielle de alpha x + i d'état x plus ces deux fois exponentielle de alpha x - yb et à x et qu'est-ce qu'on peut faire maintenant et bien l'exponentielle d'une somme c'est le produit d exponentielle on peut donc écrire y égal c'est un x exponentielle de alpha x alors je reviens à cette notation simplifiée hgd exponentielle pour m'éviter d'avoir trop à écrire on a donc exponentielle de alpha x x exponentielle de i bêta x plus ces deux fois exponentielle de alpha x x exponentielle de moins hip et à x et tu remarques qu'on a exponentielle de alpha x comme facteur commun on peut donc factoriser on a y égale exponentielle de alpha x fois c'est un facteur de exponentielle de yb et ax plus ces deux fois exponentielle de - iveta x et à partir de là tu vas voir qu'on commence à s'amuser ici on a deux termes exponentielle de quelque chose x x et si tu as regardé les vidéos sur l'approximation de fonction et les séries tu pense sans doute à la magnifique formule de l'air que l'on va enfin pouvoir utiliser pour résoudre un problème alors pour l'occasion je vais changer de couleur la formule de l'air nous dit que exponentielle de y x x est égale caussinus 2x plus y x sinus 2x et ce qui est magique c'est si on appuie à la place de x donc si on a exponentielle de ifop si on obtient moins 1 parce que sinus de pisser 0 ou encore si on a exponentielle de y x 2 pi c'est égal à 1 et ça aussi c'est stupéfiant mais pour l'instant on va voir ce qu'on peut faire de ça on va voir si on peut utiliser cette définition cette formule de l'air pour simplifier notre solution on peut donc réécrire y on a y égale exponentielle de alpha x x c1 alors ici on a exponentielle de yb et ax et donc d'après cette formule on peut réécrire caussinus de ce qu'il y a devant lui donc ici bêta x + ifois sinus encore une fois de bêta x ensuite on a plus ces deux mêmes choses ici caussinus de attention - bêta x + ifois sinus de moins peta x et on peut encore simplifier on peut distribuer et c1 et c2 mais pour ça je te donne rendez-vous dans la prochaine vidéo