Racines complexes des équations caractéristiques 2

dans la vidéo précédente on a dit que ce genre d'équations différentielles est assez facile à résoudre quand l'équation caractéristiques à deux racines réel on a assez de solutions général et quand on a des conditions initiales on peut résoudre pour les constantes c1 et c2 et la question qu'on s'est posée c'est que se passe-t-il quand on a deux racines complexe c'est à dire quand on résoudre cette équation caractéristiques que se passe-t-il si bo carré - qu'a tracé est inférieure à 0 eh bien on obtient deux racines complexe conjuguer r1 égale alpha plus yb état et r2 égale alpha - iveta on a substitué ses racines dans la solution générale et on a simplifié tout ça on a obtenu cette expression là pour simplifier encore plus on a utilisé la formule de l'air qui nous a permis d'écrire exponentielle de yb et ax comme caussinus des bêtas x plus il faut asinus de bêta x est exponentielle de - yb et ax comme caussinus de moimbé taïx plus ici nulle ce témoin bêta x et onze ans ont été arrêtées là maintenant on va utiliser quelques relations trigonométriques pour continuer à simplifier on sait que caussinus de moins et à c'est égal à caussinus de teta et que sinus de moins d'état c'est égal à - sinus deux états si on utilise ça dans cette expression ça nous donne y égale exponentielle de alpha x alors ça ne bouge pas fois c'est un alors j'en profite aussi pour distribuer c1 et c2 donc c'est un x caussinus de bêta x ça ne bouge pas plus i c'est un x sinus de bêta x plus ces deux fois caussinus tu - bêta x alors grâce à cette relation là on peut écrire caussinus de moimbé taïx comme caussinus de bêta x on a donc ces deux fois caussinus de bêta x et ensuite on as in us de moins bêta x grâce à cette relation on peut écrire - asinus de bêta x donc j'écris directement - ici - yves fois ces deux fois sinus de bêta x et là on dirait bien qu'on peut simplifier encore on peut ajouter les termes en caussinus de bêta x alors on a y égale exponentielle de alpha x fois on a c'est un plus c'est deux fois caussinus de bêta x c'est un plus ces deux fois caussinus de bêta x et on peut aussi ajouter les termes avec sinus de bêta x on a plus il fois c'est en moins une fois ces deux îles fois c'est un moins ifois ces deux fois sinus de bêta x et on peut encore simplifier on a c'est un essai deux qui sont deux constantes qui peuvent prendre n'importe quelle valeur donc on pourrait définir cette somme comme une troisième constante que je vais appeler je ne sais pas ces 3 par exemple et puis cette différence ici c'est aussi une constante surtout sachant qu'on ne se limite pas à l'ensemble des réelles pour les constantes d'ailleurs si c est un imaginaire on ne sait pas si cette différence va être un imaginaire ou pas mais on ne va pas faire d'hypothèses là dessus on va simplement dire que cette différence c'est encore une autre constante que j'appelle c4 puis on s'y intéressera quand on aura des conditions initiales et maintenant on a enfin une solution générale simplifiée dans le cas où notre équation caractéristiques a des racines complexe c'est y égale exponentielle de alpha x fois ces trois une constante fois caussinus de bêta x + c4 une autre constante fois sinus de bêta x et tu remarques ici que on n'a rien fait de très différent on ajuste substituer nos deux racines complexe dans cette solution générale et tout ce qu'on a fait ensuite c'est un peu d'algèbre pour simplifier cette expression là c'est tout on n'a rien fait de nouveau à part un peu d'algèbre et puis utiliser la formule de l'air et donc quand les racines r1 et r2 de notre équation caractéristiques sans complexe c'est à dire quand r1 égale alpha plus yb état et r2 égale alpha - iveta alors on a cette solution générale à notre équation différentielle alors c'est pas très compliqué à mémoriser mais au cas où tu n'arrives pas à temps rappelé tu n'as qu'à résoudre l'équation caractéristiques pour obtenir les deux racines complexe les substituer dans cette solution générale et donc au lieu d'avoir alpha et bêta commune si tu auras des nombres et à partir de là tu peut simplifier et tu arriveras exactement au même résultat mais si tu en examen et que tu ne veux pas perdre de temps tu peux juste te rappeler que si l'équation caractéristiques de l'équation différentiel a des racines complexe alors la solution générale c'est y égaler exponentielle de alpha x fois ces trois une constante fois caussinus de bêta x + c4 une autre constante fois sinus de bétail d'ailleurs on va essayer de résoudre en exemple très rapidement pour te montrer que c'est très facile disons qu'on à l'équation différentiel y seconde plus y prime plus y égal 0 l'équation caractéristiques de cette équation différentielle c'est et rocard et plus r plus un égale zéro les racines de ce polinum son air un qui est égal à alors - bbc1 donc moins un plus racine carrée de bo carrés à au carré c'est un moins 4 assez assez 1 cc 1 donc mois 4 sur deux a donc deux puisque deux fois 1 donc r1 c'est égal à -1 plus racine carrée de -3 sur deux si on décompose ça c'est égal à -1 2 me plus ils fois racine carrée 2,3 sur deux et r2 alors je ne vais pas détailler j'écris directement le résultat c'est moins un demi - ifois racine carrée 2 3 sur deux est maintenant pour avoir la solution générale on a juste à remplacer ces valeurs là tant notre expression ici on a donc y égale exponentielle de alpha x alors alpha ici c'est la partie réelle de nos racines complexe conjuguer c'est donc moins un demi donc - 1/2 x x x alors ici j'écris c'est un pour ne pas qu'on s'en mêle avec trop de notation différente pour les constantes c1 c2 c3 c4 mais ça reste une constante quelconque tu peux prendre n'importe quelle valeur fois caussinus de bêta alors bêta c'est en quelque sorte la partie imaginaire sans le hic ici c'est donc racine de 3 sur de cosinus de racines de 3 / 2 x x plus ces deux une autre constante voix sinus de beta donc racine de 3 / 2 x x et c'est déjà terminé dès qu'on a trouvé les racines complexe de l'équation caractéristiques on a juste à l'est des composés de façon à faire apparaître alpha et bêta et à substituer ces valeurs dans cette formule là et c'est aussi facile que ça dans la prochaine vidéo on va résoudre d'autres exemples mais cette fois avec des conditions initiales pour résoudre pour c1 et c2 à bientôt