Racines complexes des équations caractéristiques 3

dans cette vidéo on va s'entraîner à résoudre une équation différentielle dont les racines de l'équation caractéristiques sont complexes alors juste pour rappel dans la vidéo précédente on a vu que ses racines complexe son air inquiéter gala alpha plus yb état et r2 qui est égal à alpha - yb état et la solution générale de l'équation différentiel c'est y égale exponentielle de alpha x fois c'est en une constante fois caussinus de bêta x plus ces deux une autre constante fois sinus de bêta x et on va tout de suite appliqué ça on à l'équation différentiel y seconde +4 y primes + 5 y égal zéro avec les conditions initiales y 2-0 égal 1 et y prime de 0 égal 0 maintenant on est capable de déterminer la solution particulière de cette équation différentielle pour ça on a besoin des racines de l'équation caractéristiques qui est et rocard et plus 4 r + 5 égal zéro et les racines de ce polinum sont alors d'abord r17 égal à - bbc4 donc moins quatre plus racine carrée de paix au carré bo caresser 16 - quatre fois à ac 1 fois ses ces cinq sur deux a donc assez un donc de on peut simplifier on a moins quatre plus racine carrée de 4 x 1 fois 5 c 20 16 - 20 c - 4 sur deux et ça c'est égal à -4 plus 2 y puisque racine carrée de -4 c2i sur deux et donc nos deux racines sont r1 qui est égal à moins de plus si on simplifie ici si on divise tout par deux on obtient moins de plus ea et r2 alors j'écris directement le résultat c'est moins de moins et donc si on veut utiliser cette formule pour obtenir la solution générale rapidement qu'est-ce que alpha et bêta alpha c'est la partie réelle de nos racines c'est moins de ici c'est alpha et qu'est-ce que bêta bêta c'est le coefficient devant lui mais sans lui signe donc ici bêta égal 1 maintenant on peut écrire la solution générale c'est y égale exponentielle de alpha x on a dit que alpha c'est moins deux donc moins 2 x fois c'est un poids caussinus de bêta x on m'a dit que bêta c1 j'écris directement x plus ces deux fois sinus de bêta x est encore une fois bêta c'est un j'ai créé juste x et maintenant on utilise nos conditions initiales pour résoudre pour ses seins et pour ces deux on a quantix égal zéro y égal 1 donc y aygalenq antix égal 0 donc on remplace x par 0 dans cette expression exponentielle de moins deux fois 0 c'est exponentiel de zéro c'est un on a donc une fois toute cette expression l'a ensuite on à caa1 fois caussinus de zéro plus ces deux fois sinus 2 0 qu'est-ce que sinus 2-0 sinus de 0 c zéro donc tout ce terme c'est nul et qu'est-ce que caussinus 2-0 caussinus 2 0 c'est un don convient de résoudre pour c1 puisque on a une fois assez en x 1 donc on a c'est un égal 1 et maintenant on va dériver notre solution générale y est on va résoudre pour ces deux d'ailleurs on peut remplacer c'est un parent ça simplifiera les écritures donc notre solution c'est y égale exponentielle de - 2 x x c1 alors c'est on a trouvé que c'est en écrit donc directement caussinus 2x plus ces deux fois signe que x est donc là on veut dérivés le produit de deux fonctions donc y prime égale la dérive et de cette fonction là c'est moins deux fois exponentielle de - 2 x fois cette fonction-là donc caussinus 2x plus ces deux fois sinus de hynix plus cette première fonction exponentielle de - 2 x fois la dérive et de cette fonction-là donc qu'est-ce que la dérive et de cosinus 2x c'est moins sinus 2x et qu'est ce que la dérive et de sinus de xc caussinus dx donc plus ces deux fois caussinus de x alors on pourrait peut-être simplifiée mais au lieu de ça on va directement utiliser notre condition initiale on a y prime de 0 égal 0 donc quand x égal zéro y prime égale zéro donc y prime égale zéro quand x égal zéro on substitue x par 0 dans cette expression là alors si x égal zéro exponentielle 2 0 c'est un on a donc moins deux fois caussinus 2 0 c'est un plus ces deux fois sinus 0 sinus de 0 c zéro donc +0 plus exponentielle 2-0 encore une fois c'est un ensuite - sinus 2 0 c'est zéro plus ces deux fois caussinus 2-0 caussinus 2 0 c'est un donc plus ces deux et là tu remarques qu'on a déjà bien simplifié alors on peut continuer - 2 x 1c - 2 - 2 x 0 c'est zéro plus une fois 0 c zéro une fois c'est le cc 2 on ajoute deux de chaque côté et on obtient ces deux égal 2 on a maintenant notre solution particulière avec ses 1 égal 1 et c2 égal 2 alors je vais effacer tous et calculs ici pour faire un petit peu de place et pour pouvoir écrire cette solution particulière juste en dessous de notre solution générale vous juste qu'on se rappelle que c'est un égal 1 et c2 égal 2 alors la solution particulière de notre équation différentielle qui satisfait ces conditions initiales c'est y 2x est égal à exponentielle de - 2 x fois c'est un on a trouvé un donc j'écris directement caussinus 2x plus ces deux on vient de trouver ces deux fois sinus de hynix et voilà la solution particulière de cette équation différentielle dans le cas où on a ces conditions initiales et c'est intéressant parce que dans la vidéo précédente on a montré d'où vient cette solution générale on l'a beaucoup simplifié parce qu'on avait des ide partout et on a dit que ces deux c'est en fait une expression qui comprend des y ait d'autres constantes etc etc et ce qui est intéressant c'est que cette solution particulière n'a pas de y tue tout on n'a pas dit non plus ni dans notre équation différentielle de départ et ni dans nos conditions initiales mais on a utilisé des nombres imaginaire pour obtenir notre solution particulière et c'est probablement la première fois depuis que tu as aborder les imaginaires qu'on les utilise dans une résolution qu'on les utilise comme outil intermédiaires pour obtenir la solution réelle la solution pas imaginaires d'un problème réel d'un problème qui ne fait pas intervenir des nombres imaginaire j'espère que tu as trouvé ça intéressant et je te dis à bientôt dans la vidéo suivante