Racines réelles multiples de l'équation caractéristique

on a une équation différentielle du second ordre la dérivée seconde de y par rapport à x + 4 fois la dérive est première de y + 4 x y égal zéro et on veut déterminer la solution générale de cette équation différentielle alors la première chose qu'on fait c'est comme on l'a fait dans les vidéos précédentes on détermine l'équation caractéristiques alors cette équation caractéristique c'est et rocard et plus 4 r + 4 égal zéro ce pauline heures mais facile à factoriser donc on n'a pas besoin de passer par les formules des racines alors quand on factories on obtient r + 2 fois r + 2 et bien sûr c'est égal à zéro et là on remarque quelque chose d'intéressant qu'on n'avait pas encore rencontré jusqu'à maintenant nos deux racines ont la même valeur en fait on n'a qu'une seule race in her égales - 2 donc on a une racine double ou une racine répéter comme tu veux alors peut-être que tu te dis que dans ce cas notre solution générale c'est y égal c'est une constante fois exponentielle de notre racines moins de x x et il est clair que c'est au moins une solution et si tu veux tu peux vérifier ça mais ce n'est pas la solution générale alors pourquoi je dis ça parce qu'on a ici une équation différentielle du second ordre et si on voulait déterminer une solution particulière on a besoin de deux conditions initiales et deux conditions initiales qu'on a utilisé jusqu'à maintenant sont la valeur de y quand x égal zéro et la valeur y prime quantix égal zéro pourrait très bien avoir une information sur y de 5 ou autre mais en général quand il s'agit d'une équation différentielle du second ordre on a besoin de deux conditions initiales pour déterminer une solution particulière maintenant quel est le problème avec cette solution pourquoi ce n'est pas la solution général c'est parce qu'il suffit d'utiliser une de ces conditions initiales pour résoudre pour ces et on aura notre solution particulière sauf que à part peut-être pour un cas partie et cette solution ne satisfera pas la deuxième condition initiale alors d'ailleurs on peut essayer ça disons que y 2 0 et galas et y prime de 0 égal cinq cas sont nos conditions initiales oui aussi ça marche y 2-0 égal à ça nous dit que a est égal à ses x exponentielle de moins deux fois 0-0 exponentielle de 0 c 1 on a donc c'est égal a donc cette première condition initiale nous permet d'écrire une solution y égal à foix exponentielle de - 2 x mais on veut maintenant savoir si cette solution particulière satisfait cette deuxième condition initiale d'abord qu'est-ce que y trim y prime c'est égal à -2 à foix exponentielle de - 2 x est après cette condition initiale 5 à 7 égal à y prime de 0 y prennent 2 0 c'est moins deux arts pour exponentielle 2-0 exponentielle de 0 c 1 on a donc 5 à égal moins deux à ce qui est évidemment faux donc cette solution satisfait seulement une des conditions initiales des deux si on est vraiment chanceux et c'est pourquoi ce n'est pas la solution générale alors je vais effacer un peu pour faire un petit peu de place mais alors qu'est ce qu'on fait maintenant et bien ce qu'on va faire c'est juste essayer de deviner une autre solution rappelle toi c'est ce qu'on avait fait au départ quand on a réfléchi à une solution pour ces équations différentielles linéaire coefficient constant et qu'on a pensé à exponentielle de r x parce que toutes les dérives et de exponentielle des rixes sont des multiples de la fonction elle même donc on peut utiliser la même idée pour trouver une deuxième solution dans le cas d'une racine réel double comme ici pour être un peu plus générale on va dire que cette deuxième solution alors on va appeler cette deuxième solution j'ai on va dire que cette deuxième solution est égal à u2 x une fonction de x fois exponentielle de - 2 x notre première solution alors je pourrais dire une fonction de x fois c est fois exponentielle de - 2 x mais cette constante c'est ici est comprise dans la fonction des x dans ceux du x ce qui nous permet d'être encore plus générale donc on fait l'hypothèse que c'est une solution et on va substituer ça dans notre équation différentielle de départ pour résoudre pour u alors on a besoin de la dérive et premières et de la dérivée seconde de eu alors la dérive et première j'ai pris alors ici on a le produit de deux fonctions donc la dérive et première c'est égal à la dérive et de la première fonction une prime alors j'écris pas une prime de x1 puisqu'on sait que c'est une fonction de x je vais éviter de charger trop les écritures donc la dérive et de cette première fonction fois la deuxième fonction exponentielle de - 2 x plus la première fonction fois la dérive et de cette deuxième fonction moins deux fois exponentielle de - 2 x alors je réorganise un petit peu tout ça et on obtient g prime égale une prim x exponentielle 2 - 2 x moins deux fois eu x exponentielle de - 2 x maintenant la dérivée seconde on dérive geprim par rapport à x et on a alors encore une fois ici on a des produits de deux fonctions donc ici il a dérivé de la première fonction une seconde fois la deuxième fonction exponentielle de - 2 x plus la première fonction fois la dérivée de la deuxième fonction c'est donc moins de et prim x exponentielle 2 - 2 x - 2e prix mme x exponentielle 2 - 2 x et attention là on a plus 4 puisque on a moins deux fois moins de plus quatre fois une fois exponentielle de - 2 x alors on peut simplifier un petit peu on à g seconde qui est égale à une seconde exponentielle de - 2 x ici on a moins de une prime de exponentielle de - 2 x 2 x donc moins quatre fois une prime expo nantes l 2 - 2 x + 4 fois eu fort exponentielle de - 2 x et avant de substituer ça dans notre équation différentielle de départ je voudrais te faire remarquer quelque chose qui va pas mal nous simplifier la vie j'ai essayé quelque chose fois exponentielle de - 2 x ensuite on peut factoriser geprim par exponentielle de - 2 x et on peut aussi factoriser g secondes par exponentielle de - 2 x donc en réécrivant notre équation différentielle avec les expressions pour jets geprim et j'ai seconde on peut directement écrire exponentielle de moins de 6 ans facteur commun donc on a exponentielle de - 2 x fois la dérivée seconde mais sans les termes exponentielle de - 2 x puisqu'on a factoriser ça ici on a donc une seconde moins 4 u primes + 4 us + 4 fois la dérive et première mais comme on a factoriser par exponentielle de moins d x on a simplement plus 4 u prime -8 eu puisque on a moins deux fois 4 + 4 fois la fonction et encore une fois on a factoriser par exponentielle de moins de 6 on a juste quatre fois ou alors j'ai directement factoriser par exponentielle de - 2 x pour m'éviter des erreurs de signer puis surtout pour économiser de la place mais en fait je n'ai rien fait de plus que de substituer y et ses dérivés par g et ses dérivés dans notre équation différentielle de départ et donc on sait que cette expression doit être égale à zéro voyons si on peut simplifier ça un peu plus pour résoudre pour u alors qu'est-ce qu'on a là on a plus 4 u + 4 u ça fait plus 8une -8 eu donc tout ça ça s'annule et puis on a moins 4 u primes + 4 u prime ça s'annule aussi et il leur est exponentielle de - 2 x fois une seconde qui est une fonction 2x est égal à zéro or on sait que exponentielle de - 2 x ne peut pas être égal à zéro donc ça ça nous dit que une seconde 2x est égal à zéro pour résoudre ça on n'a qu'à intégrer de chaque côté de cette équation deux fois ça nous donne une prime égale c1 on intègre à nouveau de chaque côté on a eu 2 x qui est égal à ses 1 x x plus une autre constante ces deux bons mais alors d'où est-ce qu'on est parti on avait proposé une solution générale une fonction de x fois notre première solution exponentielle de - 2 x et quand on a essayé avec cette solution on a en effet réussi à résoudre pour u on a obtenu huet égal à cette expression là et donc quel est notre solution notre solution c'est g égale eu 2 x x exponentielle de moins de x pour une 2 x on a trouvé c'est un x x plus ces deux fois exponentielle 2 - 2 x et si on distribue on obtient g égal c'est un x x x exponentielle 2 - 2 x plus ces deux fois exponentielle de - 2 x maintenant on a bien une solution générale on a deux constantes et donc on peut satisfaire deux conditions initiales donc quand l'équation caractéristiques d'une équation différentielle du second ordre linéaire homogène à une racine réel double la solution générale est presque la même que quand on a deux racines réel sauf qu'on utilise deux fois la même racine et puis on a un x supplémentaires dans l'indie terme et voilà je te donne rendez-vous dans la prochaine vidéo pour résoudre un autre exemple