Équations différentielles linéaires homogènes d'ordre 2 n°2

dans la vidéo précédente je t'ai parlé des équations différentielles du second ordre linéaire homogène de façon assez abstraite je t'ai dit que si j'ai est une solution alors une constante fois j'ai est aussi une solution ou si g et h sont solution alors j'ai plus h est aussi solution mais ce qu'on va faire maintenant c'est résoudre des équations différentielles parce que je pense que ça t'aidera à mieux comprendre comment tout ça s'articule on à l'équation différentiel y seconde plus 5 x y trim plus six fois la fonction y est égal à zéro et donc résoudre cette équation différentielle revient à trouver la fonction y où l'ensemble de fonction qui satisfait cette équation c'est à dire tel que 1 fois la dérivée seconde de cette fonction plus cinq fois la dérive est première de cette fonction plus six fois cette fonction est égal à zéro réfléchi si la plupart du temps la dérivée seconde la dérive des premières et la fonction elles-mêmes sont complètement différentes par exemple je sais pas pour y égale x ou carré on a y prime égale 2 x et y seconde égal 2 tu vois bien qu en substituant ça dans cette équation différentielle il est difficile d'imaginer comment retomber sur 0 alors pour trouver la ou les solutions de cette équation différentielle on va plutôt se demander quelles fonctions assad et iv premières secondes etc qui lui sont similaires autrement dit est-ce qu'il existe une fonction telle que quand on la dérive quand on fait ça dérivés première cette vérité secondes etc etc on obtient la même fonction avec peut-être éventuellement la constante devant la fonction qui change si tu as regardé pas mal de vidéos sur ce site tu pense probablement à la fonction qui est une des plus stupéfiante en mathématiques c'est la fonction exponentielle de x pour ici exponentielle dit que ça ne marcherait pas parce qu'on aurait exponentielle de x + 5 x exponentielle 2x plus s'il faut exponentielle de x et ce n'est pas égal à zéro mais peut-être que ça marcherait avec y égale exponentielle de r x avec r une constante ce qu'on va faire maintenant s'est substitué cette fonction y et ses dérivés dans cette équation différentielle et on va voir si on peut résoudre pour r si c'est possible alors on aura trouvé une ou plusieurs solutions on va essayer tout de suite on va substituer y égale exponentielle de r x dans cette équation différentielle quelle est la dérive est première de y et bien c'est y prime on a une fonction composé ici sa dérive et c'est donc la dérive et 2m x c'est-à-dire ère fois la dérive et de exponentielle de rx par rapport à ix et c'est exponentiel de r x quelle est la dérivée seconde maintenant r c'est une constante ça ne bouge pas ensuite la dérive et de exponentielle de r x par rapport à xcr fois exponentielle de rx et donc on a r au carré fois exponentielle de r x et maintenant on est prêt pour substituer ça dans notre équation différentielle ça donne la dérivée seconde de y est rocard et fois exponentielle de r x + 5 fois la dérive et première ère fois exponentielle de r x + 6 fois la fonction ci soit exponentielle r x est égal à zéro tu as sans doute remarqué que tous les membres de cette expression de gauche ont un facteur commun exponentielle de mx1 on peut donc factoriser on a exponentielle de r x x air au carré +5 r + 6 est égal à zéro je te rappelle ici que notre but c'est de résoudre pour r c'est à dire de déterminer le ou les airs tels que ce côté de l'équation soit égal à zéro mais qu'est ce qu'on sait ici est-ce que exponentielle de r x peut être égal à zéro et bien non puisque quelque chose avec un exposant ça ne peut pas être égal à zéro exponentielle de rx ne peut pas être égal à zéro et donc pour que cette exprès lyon soit égal à zéro il faut que ce membre entre parenthèses soit égal à zéro les autres cette équation pour air revient donc à résoudre r au carré +5 r + 6 égal zéro et saer au carré +5 r + 6 c'est ce qu'on appelle l'équation caractéristiques et tu remarques que pour résoudre cette équation caractéristiques on a tout simplement besoin de nos connaissances sur les polinum du second degré d'ailleurs celui là a l'air très facile à factoriser ça nous donne r + 2 fois r plus 3 est égal à zéro et donc les solutions de l'équation caractéristiques sont air égales - 2 et r est égal moins 3 on vient de trouver deux valeurs pour air telles que cette équation différentielle soient vraies et donc on a deux solutions pour notre équation différentielle de départ ici ces solutions sont y un égal exponentielle de - 2 x avec air la constante égales - 2 et y de égale exponentielle de - 3 x avec air la constante égal moins 3 mais est ce que ces solutions sont les seules solutions de cette équation différentielle est ce qu'on pourrait imaginer une solution un peu plus générale et oui puisque dans la vidéo précédente on n'a vu qu'une constante fois une solution est aussi une solution donc s'ils y 1 est une solution on peut très bien multiplier y un par n'importe quel constante disons une constante c1 est donc ça c'est aussi une solution maintenant un peu plus générale puisque ce n'est plus une seule fonction mais un ensemble de fonctions puisque c'est un la constante ici peut prendre n'importe quelle valeur et ce sont les conditions initiales qui nous permettront de déterminer ses seins même chose pour y deux ce n'est pas forcément en fois exponentielle de - 3 x mais ça peut être n'importe quel constante ces deux fois exponentielle de - 3 x ce qu'on a appris dans la vidéo précédente si une fonction est une solution alors n'importe quel constante fois cette fonction est aussi une solution on a aussi vu que si deux fonctions sont solution si on les additionne cette somme est aussi une solution donc la solution la plus générale de cette équation différentielle c'est y de x alors je précise ici qu'on a bien une fonction de x est égal à ses 1 x exponentielle de - 2 x plus ces deux fois exponentielle de - 3 x et voilà la solution la plus générale de notre équation différentielle je ne vais pas rentrer dans les détails de la preuve ici puisque c'est un peu avancé tout ce qu'on a fait ici c'est essayer avec exponentielle de f x et tu te dis peut-être qu'il existe d'autres fonctions qui serait aussi solution mais je te garantis et je t'invite à me croire sur parole que c'est la seule solution générale de notre équation différentielle il n'y a pas d'autres fonctions qui pourraient être solution mais tu te demandes peut-être dans les équations différentielles du premier ordre on n'avait qu'une seule constante dont on est terminée la valeur à l'aide de notre condition initiale mais ici on a deux constantes on a c'est un essai 2 donc si on veut déterminer une solution particulière comment est ce qu'on va faire pour résoudre pour ces deux constantes à l'aide d'une seule condition initiale et en effet on va avoir besoin de deux conditions initiales pour déterminer une solution particulière on va avoir besoin de savoir quelle est la valeur de y pour une valeur donnée de x et quelle est la valeur de la dérive est première de y pour une valeur donnée 2x et c'est ce qu'on va voir dans la prochaine vidéo à bientôt