Équations différentielles linéaires homogènes d'ordre 2 n°3

dans la vidéo précédente on avait cette équation différentielle du second ordre linéaire homogène et on a essayé cette solution y égale exponentielle de rx&d on a trouvé que ça marche pour certaines valeurs de r en fac théorisant cette équation caractéristiques on a trouvé deux valeurs pour r on a trouvé est régal - 2 et r égal moins 3 si tu as oublié comment on a obtenu cette équation caractéristiques je t'invite à regarder à nouveau la vidéo précédente et enfin on a pu déterminer cette solution générale de notre équation différentielle de départ d'ailleurs si tu ne me crois pas tu peux t'amuser à vérifier ça en remplaçant y/y primes et y secondes dans cette équation là et si on voulait une solution particulière plutôt que cette solution générale dans ce cas on a besoin de conditions initiales on va tout de suite voir ça je vais écrire notre équation différentielle de départ on avait y seconde +5 y primes + 6 y est égal à zéro et on a les conditions initiales y 2-0 égal 2 et y prime 2 0 est égal à 3 on a donc la valeur de y quand x égal 0 ces deux et on a la pente à ce point là c'est à dire quand x égal zéro la pente c3 mais comment est-ce qu'on va utiliser ces informations pour résoudre pour les constantes c1 et c2 et bien on va commencer par la condition y 2-0 égal 2 on substitue x par zéro dans notre solution dans y on a donc c'est un x exponentielle de moins deux fois 0 exponentielle de moins deux fois 0 exponentielle 2 0 et ça c'est égal à 1 donc c'est un x cc 1 ensuite on a ces deux fois exponentielle de - 3 x 0 - 3 x 0 c zéro exponentielle 2 0 c'est aussi un donc c'est un plus ces deux donc quand on utilise cette première condition initiale on obtient de égal c'est un plus c'est 2 maintenant on va utiliser notre deuxième condition initiale qui nous indique la pente quand x égal 0 on a besoin de la dérive est première de notre solution y on a donc y primes de x est égale à la dérive et de ça par rapport à x c'est moins deux c'est un poids exponentielle de - 2 x plus la dérive et de ça par rapport à x c'est moins 3 ces deux fois exponentielle de - 3 x et maintenant on peut utiliser notre condition initiale qui nous indique que y prime 2 0 est égal à 3 alors qu'est-ce que y prime 2 0 il suffit de remplacer x par 0 dans cette expression on a donc moins deux fois c'est un x exponentielle de moins deux fois 06 exponentielle 2 0 c'est un plus moins trois fois ces deux fois exponentielle de - 3 x 0 c'est exponentiel de zéro c'est un aussi donc moins trois fois ces deux et voilà une autre information sur c1 et c2 maintenant grâce à tes connaissances de base en algèbre tu sais qu'on est capable de résoudre ce système de deux équations linéaire à deux inconnues on a c'est un plus ces deux égal 2 et moins de ses 1 - 3 ces deux égal 3 on multiplie cette première équation par deux on obtient deux c1 plus de ces deux égale 4 maintenant on soustrait cette nouvelle équation à notre deuxième équation on a moins de c1 plus de c1 ça fait 0 - 3 ses deux plus de ces deux ça fait moins c'est 2 3 + 4 ça fait 7 on a moins c'est 2 et gaza est autrement dit ces deux égal moins 7 sur multiplient de chaque côté par -20 maintenant on remplace ces deux par sa valeur par -7 dans notre première équation ici on a c'est un plus c'est deux c2c moins ça donc c'est un -7 égal 2 e on joutes 7 de chaque côté et on obtient c'est un égal 9 et maintenant on connaît les valeurs de nos constantes et ça nous permet donc décrire la solution particulière de cette équation différentielle tels que ces deux conditions initiales soit respectée cette solution particulière c'est donc y 2x égale c1 n'a trouvé 9 x exponentielle de - 2 x plus ces deux alors c2c -7 donc moins cette fois exponentielle de - 3 x voilà la solution particulière de notre équation différentielle de départ et pour t'entraîner je t'invite à vérifier que c'est en effet une solution de cette équation différentielle à tresquois sion différentiel de départ et je te dis à bientôt dans la prochaine vidéo pour un autre exemple