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Coefficients indéterminés 1

Utilisation de la méthode des coefficients indéterminés afin de résoudre une équation différentielle linéaire non homogène. Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

on va maintenant s'attaquer aux équations différentielles du second ordre linéaire non homogène à coefficient constants on dit aussi les équations différentielles du second ordre linéaire à coefficient constant avec second membre mais qu'est ce que ça veut dire ça veut dire qu'on a des équations du type à a fois la dérivée seconde de y plus tu es fois la dérive est première de y plus c'est fois la fonction y est égal à f2 x là le second membre et non nul ici en af de l'x une fonction du xe au lieu de zéro dans lequel une équation différentielle du second ordre homogène et avant de nous lancer dans un exemple je voudrais te faire part des résultats intéressants la solution générale de cette équation différentielle non homogène est en fait la solution générale de l'aversion homogène de cette équation différentielle plus une solution particulière je t'expliquerai ça plus en détail dans un petit moment qu'ils ont pour l'instant que h est une solution de la version homogène de notre équation différentielle h et solution de l'équation différentiel edc mon abréviation pour équations différentielles homogène qu'est ce que ça implique ça veut dire que à fois la dérivée seconde h + b fois la dérive est première de hache plus c'est fois la fonction h est égal à zéro c'est ce que je veux dire quand je te dis que h est une solution de l'équation différentiel homogène en fait on va même dire que c'est la solution générale de l'équation différentiel homogène et on sait comment résoudre ça on cherche là où les racines réel ou complexes de l'équation caractéristiques ça nous permet d'écrire la solution générale et ensuite si on a des conditions initiales on peut résoudre pour les constantes ce qui nous donne notre solution particulière maintenant disons que j'ai est une solution particulière de cette équation différentielle avec second membre ça veut dire que à fois la dérivée seconde de g pluspetrol à dériver première de g plus c'est fois la fonction j'ai est égal à f2 x ce que l'on vient d'écrire c'est en fait que j'ai 2 x est une solution particulière est une solution particulière de cette équation différentielle avec second membre et tu as sans doute compris avec le résultat donc j'étais parlé au début de la vidéo ce que je veux te montrer c'est que j'ai 2 x + h2x est aussi une solution de cette équation différentielle ici d'ailleurs c'est la solution générale de cette équation différentielle non homogène avec second membre avant de te démontrer tout ça j'aimerais juste que tu saisissent l'intuition qu'il ya derrière si on substitue y par h on obtient 1 0 c'est ce qu'on a fait ici si on substitue y par ge et on obtient f 2 x comme ici et donc ça paraît évident que si on ajoute g et h et qu'on substitue y par cette somme on obtient 0 + f 2 x et donc f 2 x alors on va tout de suite faire ça on va substituer y par h+ g on a donc à foix alors la dérivée seconde d'une somme c'est la somme des dérivés secondes donc à foix h seconde plus j'ai seconde plus des mêmes choses la somme des dérivés première h primes + geprim plus c'est fois la somme de nos deux solutions âge plus j'ai et je m'arrête là parce que justement on veut montrer que c'est égal à zéro + f 2 x donc si on distribue à b et c est qu on regroupe les termes en h et les terres manger on a à x h seconde plus des fois h prime plus et point h + et les terres manger maintenant à fois j'ai seconde plus des fois j'ai prime plus c'est fois j'ai par définition h et solution de cette équation différentielle homogène donc toute cette expression là est égal à zéro c'est ce qu'on a écrit ici de la même façon par définition g est une solution particulière de notre équation différentielle avec second membre est donc cette expression là est égal à f2 x c'est ce qu'on a ici donc quand on substitue y par h plus j'ai tant ce membre de gauche à droite on obtient bien f 2 x 0 + f 2 x et donc on vient de montrer que quand on définit h et j'ai comme on l'a fait la fonction disons la fonction qu'à 2 x égal h2x plus g2x et la solution générale de ce type d'équations différentielles alors je n'ai pas encore démontré que c'est la solution la plus générale mais j'espère que ce que je viens de faire te permet de saisir l'idée principale parce que la solution générale de la version sans second membre la version homogène de cette équation différentielle est la solution la plus générale et on a ajouté une solution particulière qui nous a donné fdx à droite alors c'est peut-être un peu floue pour toi donc on va directement mettre ça en application avec un exemple concret et d'ailleurs je vais te proposer une méthode pour déterminer la solution particulière j'ai on à l'équation différentiel y secondes - 3 y primes - 4 y égale trois fois exponentielle de 2,6 tu as sans doute deviné que la première étape ici c'est de déterminer la solution générale de la version sans second membre de cette équation différentielle c'est à dire ce qu'on a appelé h2x un peu plus tôt on cherche donc la solution de y secondes - 3 y prime - 4 y est égal à zéro l'équation caractéristique c'est et rocard et moins trois aires - 4 est égal à zéro on peut facilement factoriser cette équation caractéristiques r - quatre fois r + 1 est égal à zéro et nos deux racines réel son air un égal 4 et r2 égales - 1 et donc notre solution générale h2x c'est alors tu dois être à l'aise avec ça maintenant un donc cette solution générale c'est c'est un x exponentielle de 4x plus ces deux fois exponentielle 2 - 1 x x alors j'écris directement - x mais alors comment est ce qu'on obtient j'ai une solution particulière de cette équation différentielle telle qu'on ait cette expression à droite alors ici on doit réfléchir un petit peu à une fonction telle que si on prend sa dérivée seconde à laquelle on ajoute où on soustrait un multiple de sa dérivée première et un multiple de la fonction elle même on obtienne exponentielle de 2x ou quelque chose fois exponentielle de 2x donc cette fonction et ses dérivés doivent ressembler à quelque chose pour exponentielle de 2 x donc en fait on va proposer une solution qui nous semblent cohérentes et puis on va vérifier si quand on la dérive et quand on additionne ou soustrait des multiples de cette solution de sa dérivée première et sa dérivée seconde on obtient exponentielle de 2x ou un multiple de exponentielle de 2 x je te propose d'essayer avec la fonction j'ai qui est égale à une constante à a fois exponentielle de 2 x la dérive est première de g c'est deux fois à foix exponentielle 2 2x et la dérivée seconde de g c'est quatre points à foix exponentielle de 2x et maintenant on remplace y et ses dérivés par g et ses dérivés dans cette équation et on va voir comment on peut obtenir trois fois exponentielle de 2x à droite alors on à g secondes 4 à exponentielle 2 2x - trois fois j'ai prime 3 x 2 6 6 fois à foix exponentielle de 2x moins quatre fois la fonction j'ai moins 4 à exponentielle 2 2x et ça ça doit être égale à 3 fois exponentielle de 2 x alors exponentielle 2 2x n'est pas égal à zéro donc on peut diviser de chaque côté par exponentielle de 2x donc les exponentielle de 2x disparaissent ou plutôt se transforme en un conte n'a pas besoin de les écrire ensuite il nous reste à gauche on a quatre à -4 à ça s'annule et on a moins six à égal 3 on divise de chaque côté par -6 et on a à égal moins un demi et on a notre solution particulière j'ai est égal à - 1/2 fois exponentielle de 2x et comme je te l'aï expliqué plus tôt dans la vidéo la solution de cette équation différentielle avec second membre c'est cette solution particulière plus la solution générale de cette équation différentielle homogène on a donc la solution générale je vais appeler y 2x est égale à la solution générale de l'équation différentiel homogène c'est un x exponentielle de 4x plus ces deux fois exponentielle de moins x plus la solution particulière qu'on vient juste de trouver donc - 1/2 fois exponentielle de 2x et voilà le travail dans la prochaine vidéo on va s'entraîner avec un autre exemple où on a un second membre différent d'un multiple de exponentielle de quelque chose peut-être une fonctions trigonométriques à bientôt