Coefficients indéterminés 2

dans cette vidéo on va continuer à s'entraîner à résoudre des équations différentielles avec second membre on va reprendre le même problème que dans la vidéo précédente sauf qu'on va changer le membre de droite le second membre parce que j'imagine que maintenant tu n'as plus de problèmes avec les équations différentielles lomu j'ai donc on reprend le membre de gauche de d'équations de la vidéo précédente on avait la dérivée seconde de y moins trois fois la dérive est première de y - 4 white mike est dans la vidéo précédente à droite on avait trois fois exponentielle de 2 x cette fois on va essayer avec une fonctions trigonométriques disons deux fois sinus de x la première étape c'est bien sûr de résoudre la version homogène de cette équation différentielle c'est-à-dire y secondes - 3 y primes - 4 y est égal à zéro et c'est ce qu'on a fait dans la vidéo précédente pour ça on a résolu l'équation caractéristiques et rocard et moins trois aires - 4 égal 0 on a obtenu les racines r1 égale 4 et r2 égales - 1 ce qui nous a permis d'écrire notre solution générale et si tu veux revoir tout ça je t'invite à regarder à nouveau la vidéo précédente on a obtenu la solution générale alors je crois qu'on l'avait appelée h on avait donc h égal c'est un poids exponentielle de 4x plus ces deux fois exponentielle 2 - 1 x mais pour avoir la solution générale de cette équation différentielle avec second membre on a besoin de la solution de l'équation différentiel homogène c'est à dire sans second membre cette solution là à laquelle on ajoute une solution particulière de cette équation là c'est à dire tel que quand on a la dérivée seconde de cette solution particulière moins trois fois ses dérivés première moins quatre fois la solution elle même on va obtenir deux fois sinus 2x comme on l'a fait dans la vidéo précédente pour rechercher cette solution particulière on va en quelque sorte essayer de deviner la solution alors on ne va pas proposer une solution au hasard on veut une fonction avec laquelle si on manipule ses dérivés seconde et première qu'on a ajouté soustrait des multiples de cette fonction et de ses dérivés eh bien on veut obtenir deux fois sinus de x on connaît deux fonctions qui nous permettent d'obtenir sinus 2x canton les dérives c'est ces news 2 x et caussinus 2x et c'est la première étape de la recherche de cette solution particulière alors bien sûr ça ne suffit pas on va avoir des coefficients que l'on va devoir identifier mais disons que l'on propose la solution on va l'appeler g&g égale un coefficient à foix sinus 2x et si on avait ici sinus 2x à droite j'aurais écrit ici à foix sinus de 2 x parce que si on avait sinus de 2 x on ne pourrait rien faire avec ces news de x ou du moins rien d'aussi triviale que les transformations qu'il ya ici pour obtenir sinus de 2 x donc peu importe ce qu'il y à ici je le veux aussi ici donc on a à x sinus 2x plus un autre coefficient à identifier b poids caussinus 2x est encore une fois si on avait eu sinus de 2 x on aurait écrit caussinus de 2x aussi on a besoin d'eux geprim et j'ai seconde la dérive et première d'abord j'ai prime c'est égal à a fois caussinus 2x la dérive et de cosinus de xc - sinus 2x donc moimbé fois sinus 2x et ensuite la dérivée seconde c'est alors la dérive et de cosinus de xc - sinus 2x donc moins à foix signe chez ikks moimbé fois caussinus 2x et tu l'a sans doute remarqué le challenge dans la résolution d'équations différentielles c'est d'éviter les fautes d'inattention parce que c'est beaucoup d'algèbre un peu d' analyse mais le plus dur c'est sans doute de ne pas faire de faute de signes de fautes d'inattention alors où est ce qu'on en était à oui il nous reste à substituer y/y primes et y secondes par gégé primes et j'ai secondes pour déterminer a et b tel que l'on puisse obtenir deux fois ci 2x à droite alors on à la dérive et second la dérivée seconde c'est moins à foix sinus 2x moimbé fois aux sinus de x ensuite on a moins trois fois laden et des premières ici il faut être prudent avec les signes pour ne pas se tromper pas faire de fautes d'inattention alors plus 3b fois-ci news 2 x alors j'aurais pu tout écrire en ligne mais tu vas voir que d'écrire en colonne ça va permettre de factoriser plus facilement ensuite on a moins trois fois à caussinus 2x moins trois fois à caussinus de x ensuite on a moins quatre fois la fonction donc moins quatre fois à sinus 2x moins quatre fois b caussinus 2x et tout ça ça doit être égale à deux fois si news de x alors pour sinus 2x on a moins à -4 à ça fait moins 5 à + 3 b tout ça à la fois sinus 2x et pour caussinus 2x on a moins b - 4d c'est moins cinq pays - 3 ar fois caussinus de x mais alors comment est-ce qu'on résout ça pourra et pour b est bien moins 5 à + 3 b doit être égale au coefficient qui lie advances in us 2 x ici c'est à dire 2 et - 5 b - 3 à doit être égale au coefficient qui lie à devant caussinus 2x à droite or le coefficient devons caussinus 2x à droite c zéro c'est comme si on avait zéro x caussinus de x on a donc un système linéaire de deux équation à deux inconnues on a moins 5 à + 3 b égal 2 et - 5 b - 3 à égal zéro pour résoudre ça je vais multiplier la première équation par 5/3 on obtient moins 25 sur trois à plus 5 b égale deux fois 5e 10 tiers et on laisse cette deuxième équation tel quel donc -3 à -1 5 b égal zéro on additionne ces des équations on a moins 25 tiers - troyes - 25 tiers - 9 sur trois fois à plus 5 b + - 5b ça s'annule ça c'est égal a dit hier +0 s'est dit hier on a donc moins 34 sur trois à égal 10 sur trois on multiplie de chaque côté par trois et on se débarrasse des fractions on a donc moins 34 à égal à 10 on divise de chaque côté par -34 on obtient à égal moins 10 sur 34 on simplifie et on a moins 5 sur 17 alors c'est un peu moi je comme résultat mais enfin maintenant on peut résoudre pour b on remplace à part - 5 sur 17 dans cette équation là on a moins trois fois moins 5 sur 17 points 5 b égal 0 3 x 5 15 on a donc 15 sur 17 - 5b égal 0 j'ajoute 5b de chaque côté ça nous donne 5 b égale 15 sur 17 on divise de chaque côté par cinq et on a p égal 3 sur 17 et maintenant on a notre solution particulière c'est g égal à on a trouvé moins 5 sur 17 fois sinus 2x plus b on a trouvé 3 sur 17 fois caussinus de x alors on revient à notre problème initial la solution générale de notre équation différentielle de départ c'est cette expression la solution générale telle équation différentielle homogène plus la solution particulière tonton vient de déterminer les coefficients il te suffit donc d'ajouter ces deux solutions et c'est terminé on se retrouve dans la prochaine vidéo pour un exemple du même type avec un second membre différent à bientôt