Coefficients indéterminés 3

dans cette vidéo on va résoudre un autre exemple d'équations différentielles du second ordre linéaire à coefficient constant avec second membre encore une fois à gauche on va garder la même expression que dans les exercices précédents c'est à dire la dérive et secundo y moins trois fois la dérive est première de y moins quatre fois la fonction y est à droite au lieu d'avoir une fonction exponentielle ou une fonctions trigonométriques comme on avait dans la vidéo précédente on va avoir un polynôme on va avoir un polynôme du second degré 4 x au carré alors tu sais comment résoudre la version homogène de cette équation différentielle c'est-à-dire y secondes - 3 y primes - 4 y est égal à zéro donc on voit que se concentrer sur la solution particulière de cette équation différentielle avec second membre et puis on ajoutera ça la solution générale de l'équation différentiel homogène pour obtenir la solution générale de notre problème rappelle toi comment on fait pour rechercher cette solution particulière on propose une solution que l'on dérives et substituts dans l'équation différentiel initial pourront identifier les coefficients cette solution doit être de la même nature que le second membre puisque quand on additionne soustrait des multiples de cette solution et de ses dérivés comme on le fait ici à gauche on veut obtenir 4 x au carré comme le second membre est un polynôme polinum du second degré la solution va probablement être aussi un polynôme et même un polynôme du second degré on peut donc proposer une solution j'ai égale la constance à x x au carré plus b x plus sait on a besoin de la dérive et première geprim c'est 2 à x + b et la dérivée seconde j'ai seconde c'est 2-1 et maintenant on peut substituer ça dans notre équation différentielle pour identifier les coefficients à b et c on a deux arbres - 3g prime c'est donc 1,6 à x - troyes b - 4 x y donc moins 4 à ixxo carré - 4 bx -4 c'est et ça bien sûr ça doit être égal à 4 x au carré on regroupe les termes en ex au carré en x et les constantes on a moins 4 x x au carré - 4 x au carré ensuite on a moins six ax -4 dx plus moins six à moins 4 b x x et ensuite on a les constantes 2 à moins 3 b - 4 c + 2 à moins 3 b - 4 c est bien sûr tout ça toujours égal à 4 x au carré maintenant comment est-ce qu'on résout pour à b et c est bien le coefficient devant x ou carré de ce côté doit être le même que celui de ce côté c'est à dire 4 ensuite le coefficient ans devant x ici doit être égale à zéro parce qu'on peut imaginer qu'on a ensuite + 0 x x et ensuite on a + 0 donc cette somme de constantes doit être égale à zéro alors on commence par le coefficient devant x au carré -4 à doit être égal à 4 - 4 à doit être égal à 4 et donc à égal - 1 maintenant le coefficient audevant x moins six à moins 4 b doit être égale à zéro on connaît la valeur de yahoo vient de trouver moins 1 donc on peut remplacer à part - 1 on a moins six fois moins 1 c'est 6 - 4 d égal zéro on ajoute quatre baies de chaque côté on a quatre baies égal si on divise de chaque côté par quatre on a b égale 6 sur quatre c'est 3 / 2 et enfin cette somme de constantes doit aussi être égal à zéro on a deux a alors on sait que ac - on a donc moins deux ensuite on a moins 3 b on sait que baisser 3/2 on a donc moins neuf demi - 4 c est égal à 0 - 2 - 9 demi c com - 4 - 9 2 me - 4 - 9 fait -13 on a donc moins 13 2 me -4 c'est égal zéro on ajoute 4c de chaque côté on a quatre c'est égal moins 13 2 me on divise de chaque côté par quatre et on obtient c'est égal moins 13 ce 8 et si je n'ai pas fait de fautes d'inattention on a maintenant notre solution particulière d'ailleurs on va directement écrire la solution générale de notre équation différentielle on a la solution particulière alors à égal - 1 donc moins x au carré ensuite d égale trois demis plus 3/2 x x + c c'est égal moins 13 8e - 13 8e c'est la solution particulière dont on vient d'identifier les coefficients pour avoir la solution générale on ajoutait cette solution particulière la solution générale de l'équation différentiel homogène c'est à dire de y secondes - 3 y primes - 4 y est égal à zéro on a déjà résolu ça dans une vidéo précédente donc la solution générale de cette équation différentielle homogène c'est alors on l'avait appelée h c'est un poids exponentielle de 4x plus ces deux fois exponentielle de moins x pour obtenir ça on a eu besoin de résoudre l'équation caractéristiques et rocard et - 14h56 égal zéro dans les racines sont 4es -1 et donc h c'est la solution générale de cette équation différentielle homogène cette expression c'est une solution particulière de l'équation différentiel avec second membre est la solution générale de l'équation différentiel avec second membre c'est la somme de ces deux solutions donc on ajoute plus c'est un poids exponentielle de 4x plus ces deux fois exponentielle de moins x et voilà c'était vraiment pas très compliqué ce qui est sans doute le plus délicat c'est d'éviter les fautes d'inattention et tu vois qu'on utilise en de l'algèbre assez basique on arrive pourtant à obtenir la solution plutôt sophistiqué de cette équation différentielle du second ordre linéaire à coefficient constant avec secondes on se retrouve dans la prochaine vidéo pour un dernier exemple de ce type d'équations différentielles