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Coefficients indéterminés 4

Mettons tout ensemble ! Créé par Sal Khan.

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Antoine Heymans
    Avez vous un conseil pour les cas ou les fonctions usuelles sont multipliées entre elle dans le terme de droite ? (par exemple x . e(x) ou x² . e(x) . sin(x) )
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  • leaf red style l'avatar de l’utilisateur brice.chatony
    Bonjours je voudrais savoir lorsque l'on a un second membre avec un produit cette fois si on peux multiplier plusieurs solution g1 et g2 comme montré a la place de les additionnées
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Transcription de la vidéo

pour terminer cette partie sur les équations différentielles du second ordre avec second membre j'aimerais te présenter un résultat intéressant et qui pourra sans doute être très utile on à l'équation différentiel avec second membre la dérivée seconde de y moins trois fois la dérive est première de y - quatre voies la fonction y est égal à est alors attention c'est là que ça devient intéressant c'est égal à 3 fois exponentielle de 2x plus deux fois sinus 2x plus 4 x x au carré alors tu te dis peut-être wow ça a l'air d'être un problème compliqué parce que le second membre ici comprend les trois types de fonctions qu'on a vu jusqu'à maintenant et donc on va avoir beaucoup trop de coefficient identifier et c'est là que je te propose une astuce pour se simplifier la tâche on connaît les solutions des quatre équations différentielles suivante d'abord on connaît la solution générale de l'équation différentiel homogène y secondes - 3 y près - 4 y est égal à zéro cette solution générale c'est h est égal à ses 1 x exponentielle de 4x plus ces deux fois exponentielle de moins x et on a détaillé sa dans les vidéos précédentes on connaît aussi une solution particulière cette fois de y secondes - 3 y primes - 4 y est égal à 3 fois exponentielle de 2 x alors je m'appelais cette solution particulière j'ai un pour ne pas confondre avec les solutions suivantes alors j'ai un set et gala - 1/2 fois exponentielle 2 2x on connaît aussi une solution particulière de alors le membre de gauche c'est toujours le même y secondes - 3 y primes - 4 y ait cette fois c'est égal à 2 fois sinus de x on a trouvé la solution particulière g2 et qui est égal à moins 5 sur 17 fois sinus 2x plus 3 sur 17 fois caussinus 2x et enfin on connaît une solution de l'équation différentiel tour le second membre c'est ce polinum du second degré c'est-à-dire l'équation de différentiel y secondes - 3 y primes - 4 y est égal à 4 x au carré et cette solution particulière j'ai trois c'est moins x au carré plus 3/2 x - 13 sur huit donc on connaît la solution quand on a zéro à droite on connaît une solution particulière quand on a trois fois exponentielle de 2,6 à droite quand on a deux fois s'unissent de x ou quand on a juste 4 x x au carré à droite donc si on veut une solution particulière de cette équation différentielle on n'a qu'à additionner ses trois solutions particulières en effet si on substitue cette solution particulière dans le membre de gauche on va obtenir ce terme à droite si on substitue cette solution particulière à gauche on va obtenir cette solution à gauche ce terme à droite si on substitue cette solution enfin on va obtenir ce terme à droite et si on ajoute cette solution générale de l'équation différentiel homogène on va obtenir 0 à droite donc ça ne va pas modifier ce membre de droite et donc tu l'auras compris la solution de cette équation différentielle qui a l'air vraiment tendu ce n'est en fait que la somme de ses quatre solutions et cette solution c'est y cette solution c'est la solution de l'équation différentiel homogène c'est un x exponentielle 2 4x plus c'est deux fois exponentielle 2 - x plus cette solution là donc mois 1/2 poids exponentielle de 2x plus cette solution moins 5 sur 17 fois sinus 2x plus 3 sur 17 voix caussinus 2x et enfin plus cette dernière solution - x socar et plus 3/2 x x - 13 8e alors peut-être qu'en en effet sans réfléchir tu te dis que tu n'aurais jamais réussi à trouver cette solution avec tous ces coefficients ici mais en fait l'astuce très utile que je te propose ici c'est qu'il suffit de rechercher une solution particulière pour chacun de ces termes indépendamment les additionner entre eux et ajouter la solution de l'équation différentiel homogène et on obtient la solution générale de cette impressionnante équations différentielles du second ordre linéaire à coefficient constant avec second membre je te retrouves dans la prochaine vidéo pour aborder la transformation de la place