Probabilité conditionnelle - Exemple

on a mis huit pièces dans un sac parmi lesquels trois sont truquées et si on les lance elles ont 60% de chances de tomber du côté face les autres pièces ne sont pas truquées on pioche une pièce au hasard dans le sac et on la lance deux fois de suite quelle est la probabilité d'obtenir deux fois face alors bon ça c'est un problème qui est assez compliquée mais qui a ses intérêts intéressant aussi et en fait il a l'air compliqué mais on va faire ce qu'on appelle un schéma en marbre et on tu vas voir que la situation va pas mal se clarifier alors bon je vais commencer par faire un petit dessin pour me représenter un petit peu le contenu du sac pour ne pas obliger de faire ça mais bon moi je trouve que c'est pas mal donc là je vais le faire donc je vais représenter les pièces le truc et en blanc alors j'en ai il y en a trois trucs et huit en tout dont il ya cinq pièces mon truc et voilà ça c'est les 5 pièces sont truquées et les pièces truc et je veux les faire en rose une deux trois voilà et puis ça donc ça c'est le contenu du sac voilà ça c'est le sac alors évidemment bon si je si je pioche je mets la main dans le sac et si je pioche une de ces pièces là qui ne sont pas truquées une des pièces blanches et bien après quand j'aurai quand je l'annoncerai je vais avoir 50 % de chances qu'elle tombe sur du côté face au premier lancer et 50% de chances qu'elle tombe au deuxième lancé sur le côté face aussi donc en fait j'aurai je peux la lancer autant de fois que je veux un chaque fois j'aurai 50 % de chances qu'elle tombe du côté face du coup dans ce cas là la probabilité d'avoir face deux fois de suite ça sera 50 % x 50 % mais bon on fut pas sûr de piocher une de ses pièces mon truc et je peux très bien approcher une pièce trucs et une de trois pièces truqués qui est ici et dans ce cas là évidemment la probabilité de change puisque à chaque fois que je vais lancer cette pièce et j'aurai 60 % de chances d'obtenir face donc j'aurai finalement aussi j'annonce deux fois j'aurai 60 % x 60 % de chance de tomber sur le côté face donc en fait et la probabilité dépend de la pièce qu'on a choisi au départ qu'on a pioché au départ au hasard dans le sac alors comment est ce que je vais faire pour formaliser cette situation là cette dépendance au choix de la pièce c'est pas simplement lance pas simplement une pièce et à ce choix de la pièce de monnaie au départ alors que je vais faire pour ça je vais je vais tracer un pain chez marmara brandt yen et un morceau du schéma en marbre évidemment il ya une chose que j'ai pas précisé qui est pas prés 6ème dans l'énoncé mais bon ces sous-entendus les pièces sont indiscernables au toucher donc j'ai pas aucun moyen de savoir juste en piochant enfin en touchant les pièces dans le sac si elle est truqué si elle est là qu'elle est truqué laquelle ne l'est pas alors je vais représenter en fait les grandes étapes de mon jeu d'abord ce que je dois faire c'est piocher une pièce dans le sac donc j'ai dans ce cas là deux possibilités je vais représenter comme ça par deux branches alors la première possibilité c'est que j'ai pioché une pièce non truquées je vais faire en blanc donc ça c'est le cas où j'ai pioché une pièce l'autre cette branche là représente la possibilité de piocher une pièce non truquées et puis la deuxième branche elle représente le cas où j'ai pioché une pièce truqués voilà alors maintenant ce que je peux faire c'est assez facilement sait calculer la probabilité d'avoir pioché une pièce non truquées dans le sac puisque en fait j'ai huit 8 pièces au total dans le sac et parmi ces huit y en a cinq qui sont notre union trucs et donc la probabilité de piocher une pièce non truquée elle est de 5 sur 8 et puis de la même manière je peux calculer très facilement la pop probabilité d'avoir pioché une pièce truc et il y en a trois sur et parmi les huit donc j'ai une probabilité de 3 sur 8 d'avoir pioché une pièce truqués alors maintenant je vais représenter la deuxième partie du jeu c'est à dire le lancer de la de la pièce qu'on a lancé deux fois de suite de la pièce qu'on a qu'on a pioché alors je vais le faire d'une autre couleur donc ici l'événement que je vais représenter ces je veux qu'on ait deux fois face donc c'est obtenir deux fois face j'ai là j'ai pioché je suis dans le cas où j'ai pioché une pièce sont truquées et je vais regarder l'événement j'ai gelé lançait deux fois de suite et j'ai obtenu deux fois face alors là je peux calculer cette probabilité mais il faut faire attention parce que ici l'événement face parce que j'ai noté face face c'est l'événement j'ai lancé la pièce deux fois de suite et j'ai obtenu de phase 2 fois de suite sachant que au départ j'avais piocher une pièce non truquées c'est très important parce que du coup la probabilité de cette de cet événement là et bien en fait c'est jeu on doit le noter comme ça c'est la probabilité d'avoir face et face sachant que on a eu une pièce non truquées qu'on a pioché une pièce nos trucs et voilà alors cette probabilité là je peux la calculer c'est celle qui est ici ça c'est la probabilité de cette branche là un bien je peux la calculer puisque je suis dans le cas où j'ai une pièce mon truc et donc je sais que à chaque fois que je lance ma pièce j'ai une chance sur deux obtenir face donc finalement cette probabilité là c'est 0.51 demi pour le chassé pour le premier la première fois que la lancée et puis 0,5 encore pour le deuxième lancer donc 0.5 x 0,5 c 25 / sens donc c'est 0,25 25% voilà alors maintenant ça c'est bien cette importance c'est la probabilité d'avoir obtenu deux fois de suite face en sachant que j'avais piocher une pièce mon truc et alors si je veux calculer la probabilité de tout cet événement-là de cette suite d'événements là qui correspond à je vais piocher une pièce non truquées et puis ensuite j'ai lancé j'ai eu deux fois de suite face c'est cet événement-là donc en fait je vais c'est toute cette branche là un que je vais je vais la représenter comme ça cette probabilité là c'est 5 8 yens fois 0,25 alors il faut bien comprendre les deux les deux facteurs ici le deuxième l'a 0.25 c'est la probabilité d'avoir obtenu face deux fois de suite sachant qu'on avait une pièce non truquées et cette probabilité laon la multiplie par la probabilité d'avoir effectivement choisi au départ une pièce de truquer qui est 5/8 on peut le voir aussi comme ça en fait cette branche là la branche que j'ai entouré c'est l'événement alors je vais l'écrire ça c'est la probabilité de l'événement j'ai pioché une pièce non truquées non truquées et et j'ai obtenu deux fois face je vais lancer et j'ai obtenu deux fois face voilà alors bon maintenant on va faire exactement la même chose avec l'autre cas c'est à dire le cas où j'ai pioché une pièce truqués alors dans ce cas là je vais représenter aussi la deuxième partie du jeu c'est à dire je vais piocher une pièce et c'était une pièce truqués et maintenant je la lance et je veux obtenir deux fois face donc ces jeux représentent encore une fois c'était cet événement là alors ici c'est la même chose que tout à l'heure cette probabilité qui est ici ça c'est la probabilité d'avoir obtenu deux fois face sachant que j'avais pioche est d'abord une pièce truqués voilà c'est vraiment simple puisque là on est dans le cas où on va piocher une pièce truqués et on cherche à avoir deux fois face aux recherches la probabilité d'avoir deux fois face donc je vais faire comme tout à l'heure maintenant je vais jusqu'au à chaque fois que je lance la pièce de monnaie pour puisqu'elle est truqué je sais que j'ai 60 % de chances qu'elle tombe surface à chaque lancer donc je vais la lancer deux fois de suite donc je vais avoir la probabilité de 0,6 fois 0,6 et ça ça fait 0 36 36 sur 101 6 10e fois 6/10 ça fait 36 sur 100 voilà alors maintenant je peux aussi calculer la probabilité de tout c'est de tout cet événement là où de toute cette branche ça c'est l'événement j'ai pioché une pièce non truquées truqués pardon j'ai pioché une pièce truqués et et j'ai obtenu deux fois face voilà comme tout à l'heure et pour obtenir cette probabilité je procède de la même manière en fait je prends la probabilité d'avoir obtenu deux fois face en sachant que j'avais une pièce truqués et je la multiplie par la probabilité d'avoir eu d'avoir choisi une pièce truc est donc finalement la probabilité de cet événement là et bien ces trois huitièmes ça c'est la probabilité d'avoir pioché une pièce truqués x 0,36 qui est la probabilité d'avoir obtenu deux fois face sachant qu'on avait pioché une pièce truqués voilà alors je vais prendre dans la calculatrice pour calculer ces deux valeurs je les ai pas encore calculé alors la première 5/8 fois 0.25 on peut faire cinq fois 0,25 / 8 et ça me donne 0,150 6,25 donc je veux l'écrire complètement 0,150 6,25 voilà et puis je vais calculer la deuxième alors c'était trois fois 0,36 divisé / 8 et la j'obtiens 0,135 0,135 alors du coup si on te demande quelle est la probabilité d'avoir pioché une pièce non truquées et obtenu deux fois face à ce résultat ici et si on te demande quelle est la probabilité d'avoir pioché une pièce truqués et ensuite d'avoir obtenu deux fois face mais le résultat ça serait ça 0 835 mais là c'est parce qu'on nous demande ici ce qu'on nous demande c'est quelle est la probabilité dab d'obtenir deux fois face donc on nous demande pas de choisir une pièce truqués ou non truquées on nous demande quelle est la probabilité d'obtenir deux fois face donc obtenir deux fois face on peut le faire de ces deux façons la soie avec une pièce sont truquées soit avec une pièce trucs et donc les deux probabilité qu'on a un calcul et un celle ci est celle ci ce sont deux parties de la probabilité que je dois avoir est en fait ce que je dois faire c'est la somme de ces de nombreux là puisque de cette manière là j'aurais considéré toutes les manières d'obtenir deux fois fin avec une pièce mon truc et et avec une pièce mon truc et donc je vais maintenant faire la somme de ces deux nombres alors 0,150 6,25 plus 0,135 et ça me donne 0,29 cent vingt-cinq donc la somme que la probabilité que je cherche je vais l'écrire ici c'est 0,150 6,25 plus 0,135 et ça on a dit que ça faisait on vient de le calculer 0,29 cent vingt-cinq bon c'est un peu plus visuel d'exprimer sa sous forme de pourcentage c'est quand même une habitude à prendre donc ça il faut juste x 100 donc ça va me donner 29,125 % bon mais ça on peut la rendirent selon la précision dont on a besoin on va dire que là c'est environ par dont environ 29,13 % donc il ya un petit peu moins d'une chance sur 3 d'obtenir deux fois face à ce jeu là alors pourquoi est-ce qu'on a ce résultat un jeu revenir un petit peu en arrière évidemment si on avait que des pièces non truquées ben on aurait 0,05 x 0,5 donc une chance sur 4 d'obtenir deux fois face mais là dans le sac il ya des pièces truc et c'est ça qui change tout puisque si on pioche une pièce truc et on a plus de chances d'obtenir deux fois face puisqu'elles sont à 70 à 60 % de chance chaque fois qu on la lance de tomber du côté face donc c'est normal intuitivement qu'on est ici plus de chance d'avoir deux fois face à ce jeu là à cause de la présence des pièces truqués