Par exemple, si on met le trinôme x²+6x+2 sous forme canonique, c'est-à-dire si on montre que x²+6x+2 = (x+3)²-7, alors la résolution de l'équation x²+6x+2=0 se ramène à celle de l'équation (x+3)²-7=0.

Prérequis :

Le sujet traité

Jusqu'à maintenant, nous avons vu comment résoudre des équations du second degré grâce à deux méthodes, relativement simples et efficaces : prendre la racine carrée ou factoriser. Malheureusement, elles ne sont pas toujours applicables.
Cette leçon donne LA solution pour résoudre une équation du second degré quels que soient les coefficients a,ba,b et cc.

Résoudre une équation du second degré en utilisant la forme canonique

On considère l'équation x2+6x=2x^2+6x=-2. On ne peut ni prendre la racine carrée, ni factoriser.
Mais tout espoir n'est pas perdu ! On utilise ici la forme canonique. Voici ce dont il s'agit :
(1)x2+6x+2=0(2)on fait apparatre le carr d’une sommeıˆeˊx2+6x+99+2=0(3)premire identit remarquableeˋeˊ(x+3)27=0(4)troisime identit remarquableeˋeˊ[(x+3)7][(x+3)+7]=0(5)x+3=±7(6)x=3±7\begin{aligned}(1)&&x^2+6x+2&=0\\\\ \blueD{(2)}&\blueD{\text{on fait apparaître le carré d'une somme}}&\Large\blueD{x^2+6x+9-9+2}&\Large\blueD{=0}&\\\\ (3)&\text{première identité remarquable}&(x+3)^2-7&=0&\\\\ (4)&\text{troisième identité remarquable}&[(x+3)-\sqrt{7}][(x+3)+\sqrt{7}]&=0&&\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&\text{}& x&=-3\pm\sqrt{7}&\end{aligned}\operatorname{}
Il y a deux solutions x=3+7x=-3+\sqrt{7} et x=37x=-3-\sqrt{7}.

On regarde de plus près

À la ligne (2)\blueD{(2)}, on a ajouté et retranché 99. Ceci permet de faire apparaître x2+6x+9x^2+6x+9 qui est le développement du carré de (x+3)(x+3). On obtient, à la ligne (3)(3), (x+3)27(x+3)^2-7. Or, 77 est le carré de racine de 77, donc on a fait apparaître une différence de deux carrés que l'on peut factoriser. (x+3)27(x+3)^2-7 s'appelle la forme canonique du trinôme x2+6x+9x^2+6x+9.
Ce n'est bien sûr pas par hasard que l'on a choisi d'ajouter et de retrancher 99. C'était en vue de mettre en évidence le développement du carré d'une somme.

Le choix du nombre à ajouter et retrancher

Si on a choisi le nombre 99 c'est parce que x2+6xx^2+6x est le début du développement du carré de x+3x+3. En effet (x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2 =x^2+6x+9.
On peut poser le problème d'une autre façon. On peut se demander quelle doit être la valeur de aa pour que x2+6x+a2=x2+2ax+a2=(x+a)2x^2+6x+a^2=x^2+2ax+a^2=(x+a)^2. De cette égalité on déduit que :
  1. 2a=62a=6, donc a=3a=3.
  1. Le nombre qu'il faut ajouter à x2+6xx^2+6x est a2a^2, c'est-à-dire 32=93^2=9.
À vous !

Un dernier exercice

Remarque. On peut en déduire une formule. Pour mettre le trinôme x2+bxx^2+bx sous forme canonique, il faut ajouter et retrancher (b2)2\left(\dfrac{b}{2}\right)^2.
Par exemple, pour mettre x2+6xx^2+\blueD{6}x sous forme canonique, on ajoute et on retranche (62)2=9\left(\dfrac{\blueD{6}}{2}\right)^2=9.

Un dernier exemple

Le voici :
Soit à résoudre l'équation x210x+12=0x^2-10x+12=0.
(1)x210x+12=0(2)On fait apparatre le carr d’une diffrenceıˆeˊeˊx210x+2525+12=0(3)deuxime identit remarquableeˋeˊ(x5)213=0(4)troisime identit remarquableeˋeˊ[(x5)13][(x5)+13]=0(5)x5=±13(6)x=5±13\begin{aligned}(1)&&x^2-10x+12&=0\\\\ \blueD{(2)}&\blueD{\text{On fait apparaître le carré d'une différence}}&\Large\blueD{x^2-10x+25-25+12}&\Large\blueD{=0}&\\\\ (3)&\text{deuxième identité remarquable}&(x-5)^2-13&=0&&\text{}\\\\ (4)&\text{troisième identité remarquable}&[(x-5)-\sqrt{13}][(x-5)+\sqrt{13}]&= 0&&\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&& x&=5\pm\sqrt{13}&&\end{aligned}\operatorname{}
x210xx^2-10x est le début du développement du carré de x5x-5, donc à la ligne (2)\blueD{(2)} on a ajouté et retranché 2525 qui est le carré de 55.
On a obtenu (x5)213(x-5)^2-13. Or, 1313 est le carré de racine de 1313, donc on a fait apparaître une différence de deux carrés, facile à factoriser.
À vous !

Deux règles à observer

Règle 1 : D'abord écrire l'équation sous la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

Par exemple, soit l'équation x2+5x6=x+1x^2+5x-6=x+1.
(1)x2+5x6=x+1(2)eˊquivaut aˋx2+4x6=1(3)eˊquivaut aˋx2+4x7=0(4)on fait apparatre le carr d’une somme :ıˆeˊ(x2+4x+4)47=0(5)mise sous forme canonique :(x+2)211=0(6)factorisation :[(x+2)+11][(x+2)11]=0(7)x+2=±11(8)x=2±11\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1&&\\\\ \tealD{(2)}&\tealD{\text{équivaut à}}&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&\\\\ \purpleC{(3)}&\purpleC{\text{équivaut à}}&\purpleC{x^2+4x-7}&\purpleC{=0}&&{}\\\\ (4)&\text{on fait apparaître le carré d'une somme :}&(x^2+4x+4)-4-7&=0&&\text{}\\\\ (5)&\text{mise sous forme canonique :}&(x+2)^2-11&=0&&\\\\ (6)&\text{factorisation :}&[(x+2)+\sqrt{11}][(x+2)-\sqrt{11}]&=0&&\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&& x&=-2\pm\sqrt{11}&&\text{}\end{aligned}\operatorname{}
Si on entreprend de mettre en évidence un carré dans le premier membre et que dans l'autre membre il y a des termes en xx, la méthode ne marchera pas.\operatorname{}
Il faut toujours commencer par mettre l'équation sous la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0.\operatorname{}

Règle 2 : Diviser éventuellement tous les termes par aa pour que le coefficient de x2x^2 soit égal à 11.

Soit l'équation 3x236x=423x^2-36x=-42.
(1)3x236x+42=0(2)eˊquivaut  aˋx212x+14=0(3)eˊquivaut aˋx212x+3636+14=0(4)mise sous forme canonique(x6)222=0(5)factorisation[(x6)22][(x6)+22]=0(6)x6=±22(7)x=6±22\begin{aligned}(1)&\text{}&3x^2-36x+42&=0\\\\ \maroonD{(2)}&\maroonD{\text{équivaut à }}&\maroonD{x^2-12x+14}&\maroonD{=0}&\\\\ (3)&\text{équivaut à}&x^2-12x+36-36+14&=0&\\\\ (4)&\text{mise sous forme canonique}&(x-6)^2-22&=0&\\\\ (5)&\text{factorisation}&[(x-6)-\sqrt{22}][(x-6)+\sqrt{22}]&=0&&\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&& x&=6\pm\sqrt{22}&&\text{}\end{aligned}\operatorname{}
Cette méthode ne fonctionne que si le coefficient de x2x^2 est 11.
C’est pourquoi à la ligne (2)\maroonD{(2)} on a divisé par 33 qui est le coefficient de x2x ^ 2.
Bien sûr, parfois cette division par le coefficient de x2x^2 fait apparaître des fractions.
A vous !
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