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Première générale

Cours : Première générale > Chapitre 2

Leçon 1: Factoriser un trinôme du second degré

Factoriser un trinôme de la forme ax² + bx + c, où a ≠ 1, en décomposant le terme bx

Comment écrire un trinôme de la forme ax² + bx + c, où a est différent de 1 sous forme d'un produit de facteurs. Par exemple comment établir que 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Prérequis

Reportez-vous si nécessaire à la leçon Préambule à la méthode de factorisation d'un trinôme du second degré en décomposant le terme en x.

et aussi à Factoriser un trinôme lorsque le coefficient du terme du second degré est égal à 1

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la factorisation d'un trinôme si le coefficient du terme du second degré est différent de 1.

Exemple 1 : Factoriser 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3

Le coefficient de terme du second degré du trinôme left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis est start color #11accd, 2, end color #11accd.

Pour factoriser start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, la méthode est de chercher deux entiers dont le produit est égal à start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6, c'est-à-dire au produit du coefficient du terme du second degré et du terme constant, et dont la somme est égale à start color #e07d10, 7, end color #e07d10, c'est-à-dire au coefficient du terme en x.

start color #01a995, 1, end color #01a995, times, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6 et start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7, donc ces deux entiers sont start color #01a995, 1, end color #01a995 et start color #01a995, 6, end color #01a995.

[Comment trouve-t-on ces deux entiers ?]

On utilise les deux entiers trouvés pour décomposer le terme en x : 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3.

On regroupe les deux premiers termes du trinôme et les deux derniers termes et on les factorise séparément comme on l'a vu dans la leçon précédente :

\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{ } }} \end{aligned}

2, x, squared, plus, 1, x, plus, 6, x, plus, 3, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.

[Et si on avait écrit les deux termes en x dans l'autre ordre ?]

Pour vérifier, on peut effectuer le produit left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.

[détail]

A retenir

Pour factoriser un trinôme de la forme start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, une méthode est de :

Trouver les deux entiers dont le produit est start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff et dont la somme est start color #e07d10, b, end color #e07d10.
Utiliser ces deux entiers pour décomposer le terme en x.
Regrouper les deux premiers termes et les deux derniers termes du trinôme et les factoriser séparément.

À vous !

1) Le trinôme 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8 est égal à :

(Choix A)
left parenthesis, 3, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 8, right parenthesis
(Choix B)
left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis
(Choix C)
left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, 6, x, plus, 8, right parenthesis
(Choix D)
left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

[J'ai besoin d'aide.]

2) Factoriser 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15.

[J'ai besoin d'aide.]

Exemple 2 : Factoriser 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4

Pour factoriser start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, on cherche les deux entiers dont le produit est start color #11accd, 6, end color #11accd, times, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24 et dont la somme est start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.

start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, equals, minus, 24 et start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, equals, minus, 5, donc ces deux entiers sont start color #01a995, 3, end color #01a995 et start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.

[Comment trouve-t-on ces deux entiers ?]

On décompose le terme en x : minus, 5, x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995, x, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, x

$\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{} }}\\ \end{aligned}$

6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4, equals, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.

Pour vérifier, on peut effectuer le produit left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.

[détail]

Attention. A l'étape start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd, on a mis un signe "+" entre left parenthesis, 6, x, squared, plus, 3, x, right parenthesis et left parenthesis, minus, 8, x, minus, 4, right parenthesis. De cette façon, la deuxième parenthèse contient bien le troisième terme du polynôme qui est left parenthesis, minus, 8, x, right parenthesis et le quatrième terme. A l'étape start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, on a mis minus, 4 en facteur de façon à obtenir le facteur commun left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis.

À vous !

3) Le trinôme 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9 est égal à :

(Choix A)
left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 9, right parenthesis
(Choix B)
left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 6, x, minus, 9, right parenthesis
(Choix C)
left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis
(Choix D)
left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis

[J'ai besoin d'aide.]

4) Factoriser 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5.

[J'ai besoin d'aide.]

5) Factoriser 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6.

[J'ai besoin d'aide.]

Quand utilise-t-on cette méthode ?

On peut utiliser cette méthode pour factoriser certains trinômes de la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c, si a, does not equal, 1.

Certains seulement !

En effet, soit par exemple le trinôme start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. Pour utiliser cette méthode de factorisation, il faut d'abord trouver les deux entiers dont le produit est start color #11accd, 2, end color #11accd, times, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2 et dont la somme est start color #e07d10, 2, end color #e07d10. Vous pouvez essayer, vous ne les trouverez pas !

Donc on ne peut pas utiliser cette méthode pour factoriser start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. Et bien sûr, ce n'est pas le seul trinôme que l'on ne peut pas factoriser en utilisant cette méthode

Dans tous les cas, si l'on ne peut pas utiliser cette méthode, c'est que la factorisation du trinôme n'est pas de la forme left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis où A, B, C et D sont des entiers.

Pourquoi cette méthode fonctionne-t-elle ?

La méthode est basée sur l'identité : Quel que soit x, left parenthesis, A, C, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, B, C, plus, A, D, right parenthesis, x, plus, B, D, equals, left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis

Soit un trinôme de la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c que l'on peut factoriser sous la forme left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, où A, B, C et D sont des entiers.

Si on développe ce produit on obtient left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.

[Comment ?]

Quel que soit x, ce trinôme est égal au trinôme a, x, squared, plus, b, x, plus, c. On identifie leurs coefficients : a, equals, A, C, b, equals, B, C, plus, A, D et c, equals, B, D :

left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis

On pose m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 et n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.

left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis

Donc,

m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b

m, times, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, ×, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, ×, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, a, times, c

Et donc les deux entiers que l'on cherche sont start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 et start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff

Une fois que l'on a trouvé les entiers m et n on les utilise pour décomposer le terme en x du trinôme à factoriser.

Il est clair que si l'on remplace left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x par left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, puis si l'on regroupe les deux premiers termes et les deux derniers termes du trinôme et si on les factorise séparément, on obtient le produit left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis.

[détail]

En conclusion,

On est parti d'un trinôme de la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c dont la factorisation est de la forme left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis,
On a trouvé deux entiers m et n, tels que m, n, equals, a, c et m, plus, n, equals, b left parenthesisen posant m, equals, B, C et n, equals, A, D, right parenthesis,
On a remplacé b, x par m, x, plus, n, x, et on a obtenu la factorisation left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.