Modéliser à l'aide d'une fonction du second degré - exemple

le nombre m de moustiques en millions à brooklyn new york dépend de la hauteur h en centimètres des pluies du mois de juin et peut-être molly de modéliser par la fonction suivante donc on à m c'est le nombre de milles de mouz millions de moustiques en fait hein c'est exactement ça c'est nombre de millions de moustiques qui à brooklyn et on nous dit que ça dépend de la hauteur des pluies du mois de juin et cette hauteur là on l'appelle h donc elle et mesurant cm et la fonction qui modélise le nombre de moustiques et bien c'est celle ci n le nombre de moustiques en fonction de hc - h x h - 4 h c'est la hauteur en cm 1 alors comme d'habitude je te conseille de mettre la vidéo sur pause et d'essayer de voir ce que tu peux faire toi même pour répondre aux questions qui sont posées ici alors maintenant que tu as essayé voilà on va lire la première question quelle hauteur depuis faudrait-il pour que la population des moustiques soit 2,0 millions la population des moustiques soit 2,0 millions bon une population de 0 millions ça en fait ce qu'on nous demande c'est quelle hauteur de pluie il faudrait pour qu'il n'y ait plus un seul moustique à brooklyn alors je vais réécrire un jeu et commencer par réécrire l'expression qu'on nous donne ici de la fonction donc m le nombre de moustiques en fonction de la hauteur de pluie au mois de juin et bien c'est moins h x h - 4 et si on veut que n'y ait plus aucun moustiques en fait on veut que ce n 2 h soit égal à zéro donc finalement on obtient une équation qui est celle ci 0 égales - h x h - 4 alors cette équation on va la résoudre elle n'est pas très très compliquée à résoudre parce que ici on a ce membre là et factoriser donc on achète un produit 2,2 terme et donc si un produit est nul ça veut dire qu'un des deux facteurs nuls donc ici le premier facteur c - h donc il faudrait que moi h soit égal à zéro ou bien que h - 4 ça c'est le deuxième facteur qui est là soit égal à zéro alors le premier facteur - h égal à zéro ça ça veut dire que h est égal à zéro donc ça c'est simplement multipliant par -1 par exemple et puis la deuxième possibilité donc c'est ou h - 4 égal à zéro et saab il suffit que tu ajoutes 4 d2 aude membres et tu obtiens que ça c'est possible si h est égal à 4 si et seulement si h est égal à 4 voilà donc les deux possibilités pour que la population des moustiques soit 2,0 millions pour qu'ils aient plus haut qu'un moustique il faut soit que h est égal à zéro c'est à dire qu'il ne pleuve pas du tout au mois de juin et là on peut imaginer que l'on sait que les moustiques les larves de moustiques ont besoin d'eau à led sont elles se développent dans l'eau mais en fait il faut même que ce soit des flaques d'eau stagnante dans lesquelles les larves peuvent éclore et puis aller respirer à la surface donc on imaginait on comprend assez bien que s'il pleut pas du tout et bien il y aura pas de moustiques et la deuxième solution c'est que h soit égal à 4 c'est à dire qu'il pleuve quatre centimètres d'eau au mois de juin alors ça c'est peut-être un peu plus on s'imagine peut-être un petit peu moins pourquoi pourquoi c'est comme ça et probablement c'est parce que à partir d'un certain niveau d'eau est bien il n'y a plus d'eau stagnante non plus un lot est toujours en mouvement s'il pleut beaucoup l'eau va toujours courir avancées se déplacer donc il y aura pas d'eau stagnante donc les larves de moustiques ne pourront pas non plus développés voilà bon en tout cas les hauteurs de pluie pour que les populations de moustiques soit 2,0 millions c'est celle là soit il ne pleut pas du tout soit il pleut 4 cm de dos au mois de juin on va passer à la deuxième question quel est le nombre maximal de moustiques possible alors ici il faut voir que 7,7 etc cette fonction là c'est une fonction du second degré donc sa courbe représentatif ça va être une parabole et si on nous parle de nombre maximal de moustiques c'est que probablement la parabole va être comme ça orienté vers le bas voilà comme ça parce que si on avait une parabole comme celle-là orienté vers le haut bas évidemment on pourrait pas parler de maximum mais plutôt ici de minimum donc a priori on est dans une situation de ce genre là effectivement c'est ce que nous confirme le signe - qui hélas se signe - là ça correspond au fait qu effectivement la parabole va être orientés vers le bas alors ce qu'on va faire pour essayer de trouver le nombre maximal de moustiques eh bien on va une va essayer de transformer ce polynôme ça c'est un polynôme de degré de et on va essayer de le mettre sous ce qu'on appelle la forme canonique donc la forme canonique je te rappelle c'est une forme de ce genre là un ca x x - b au carré plus ces voix là et dans ce cas-là bon si à est négatif et bien en fait on a x - b o car est toujours positif donc à x x - b au carré est toujours négatif dans le cas où aller négatif donc finalement on comprend que c'est la valeur maximale puisque ce qu'on fait c'est à partir de ces et enlever toujours quelque chose de positif donc si on arrive à exprimer un polynôme 2° deux sous cette forme là ce qu'on appelle la forme canonique eh bien on aura directement le nombre maximal de moustiques possible qui sera se donner parce c'est ici obtenu quand cette partie là ça nul si aaa est positive tu vois on est dans cette situation là donc en fait cette forme canonique elle va pas permettre de déterminer un maximum puisqu'il n'ya pas de maximum par contre elle permettra de la même manière de déterminer un minimum qui sera celui ci alors du coup ce qu'il faut faire c'est essayer de transformer cette et croiser cette expression là donc je vais la réécrire mm 2 h c'est moins achever la réécrire en la développant donc on a ici - h x h je développe tout simplement moins h x h ça fait moins h au carré et puis - h fois moins 4 ce qui fait moins plus 4h pardon voilà donc la gelée développer donc pour arriver à trouver cette forme canonique peut-être que tu as vu les vidéos précédentes en fait on va faire ce qu'on appelle de temps en temps la méthode de complétion du car et c'est à dire qu'on va essayer de voir là dedans le début d'un polynôme 2° un élevée au carré donc le début de quelque chose comme ça donc pour commencer pour pas être trop perturbé par le signe négatif qui est là je vais factoriser - 1 donc je vais obtenir - h carré - 4 h voilà j'ai simplement factories est le 1 le moins un pardon donc ici il faut essayer de reconnaître le début d'un quart et le début d'une identité remarquable tu peux voir ça comme ça mais pour faire ça on va se concentrer sur ce terme là qui doit être le double produit donc ici on a moins 4h en fait ça sera moins 2 fois 2 h ce qui veut dire que tout ça ça peut être le début de 2 h - 2 au carré et pour bien le voir on va faire comme ça on va on va écrire que c'est alors je réécris ça - achkhar et moi 4h ça je le laisse et puis je vais ajouter 4 + 4 donc mais évidemment je il faut que je garde la même quantité ici est donc je ne peux pas ajouter 4 comme ça sinon ça changerait que ça changerait l'expression que j'ai donc si j'ajoute 4 il faut que tout de suite j'enlève 4 1 donc c'est ce que je vais faire immédiatement j'enlève 4 ici tu vois ça paraît peut-être un petit peu un petit peu absurde ce que je fais mais en fait tu vas voir que c'est ça la méthode de complétion du car et c'est que maintenant ce qui attise qui est ici là et bien tu vois c'est une idée identité remarquable et sa ch - 2 au carré h - 2 au carré si tu développes cette expression là tu trouve exactement h au carré - 4 h + 4 et là je pense que tu comprend bien pourquoi j'ai ajouté quatre parce qu'en fait 4 c'est le carré de 2 donc c'était ce qui manquait effectivement à l'expression initial pour voir apparaître un carré du coup maintenant je peux réécrire cette expression là je vais le faire comme ça c'est moins je vais l'écrire comme ça avec des crochets du coulage et h - 2 au carré h - 2 au carré et puis j'ai ce -4 qui est là voilà et maintenant on a presque terminé puisqu'il suffit que je développe en fait que je distribue ce moins un qui est là et j'obtiens égal à - h - 2 au carré plus - fois moins quatre donc ça fait plus 4 et là tu vois je suis arrivé à tout à fait cette forme là avec à égal à -11 1 essai est égal à 4 donc ici je vais répéter un petit peu ce que ce que j'ai dit tout à l'heure dans le cas général quand on a parlé du cas général de cette forme canonique en fait tache -2 au carré c'est toujours positif donc là je pars de 4 et j'ai toujours j'enlève toujours quelque chose donc au maximum le plus haut le plus grand nombre que je peux obtenir ces quatre puisque à chaque fois j'enlève quelque chose donc au maximum je peux obtenir 4 ce qui veut dire que finalement le nombre maximal de moustiques possible et bien c4 est ici bon c'est des millions donc c'est 4 millions au maximum il y a quatre millions de moustiques donc là on a répondu à cette question là et on va passer à la troisième pour quelle hauteur de pluie la population de moustiques atteindra-t-elle son maximum alors en fait on a pratiquement répondu à cette question là puisque ce qu'on a dit c'est que au maximum on avait 4 4 millions de moustiques donc au maximum m 2 h était égal à 4 en fait quand est ce que m 2 h est égal à 4 donc je vais je peux l'écrire quand est-ce que - h - 2 au carré +4 est égal à 4 bien tu peut soustraire 4 des deux côtés en fait ça revient à dire que - h - deux comme ça - h - 2 au carré est égal à zéro et là tu peux voir que ça c'est vrai si et seulement si h - 2 est égal à zéro et donc h - 2 égal à zéro si et seulement si faire comme sa hache est égal à 2 donc la hauteur de pluie pour laquelle la population moustiques atteint son maximum qui est de 4 millions de moustiques et bien ch égal 2 donc h égal 2 cm ces deux centimètres quand la s'il pleut aussi au mois de juin il pleut deux centimètres d'eau et bien la population de moustiques est à son maximum et elle est de 4 millions alors ça c'est ce n'est pas inintéressant de le regarder se pencher un petit peu sur le les limites de ce modèle ce modèle convient de faire parce qu'on a un polynôme qui est dont la courbe représentative est une parabole qui est comme ça orienté vers le bas je vais je vais tracé des axes voilà comme ça acx ici on à h&m si on à m donc ce qu'on a vu ici c'est que s'il ne pleut pas donc 6 h est égal à zéro et bien la population de moustiques est nul il n'y a pas un seul moustique s'il pleut pas au mois de juin donc on est comme ça ensuite plus il pleut plus la population de moustiques augmente jusqu'à atteindre un maximum qui est un pur n égale 2 1 ça c'est 2 cm s'il pleut deux centimètres d'eau on a vu que la population atteignait son maximum et que ce maximum d'ailleurs c'était 4 millions de moustiques voilà et puis ensuite bien là la population redescend jusqu'à cette valeur-là qui est quatre quand il pleut 4 cm d'eau ya trop d'eau et asthme à partir de ce moment là il ya plus de moustiques ya plus aucun moustiques alors si on veut comparer le modèle à la réalité en fait nous on a une pauline home 2 degrés de la courbe représentative elle est en fait elle ne s'arrête pas à 4 à elle continue comme ça a dit me a diminué diminuer de plus en plus et en fait si on veut relier ça à notre modèle ça correspondrait à une situation où il ya un nombre négatif de moustiques donc ça n'a pas vraiment de sens et en fait ça veut dire que là on peut utiliser ce modèle l'anme dans ses limites la honte pour une pluie qui est de entre 0 et 4 cm au-delà de 4 cm le modèle n'a plus aucun sens puisque on arrive à un nombre négatif de moustiques