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Contenu principal
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Transcription de la vidéo

bonjour on va continuer avec les équations du second degré les polinum du second degré alors on a fait plusieurs vidéos là dessus et dans les vidéos précédentes on était finalement arrivée à te donner une formule pour déterminer les racines d'un polynôme du second degré alors ici je te donne un polynôme pki ça c'est vraiment un polynôme paix tout à fait général la variable cx et l'éco efficience et ab et c'est donc le polynôme ca x x au carré plus b x x plus c'est alors ce qu'on peut préciser ici c'est que le coefficient à devrait être non nul parce que sinon ça devient un polynôme du 2° un et ça nous intéresserait pas de la même manière et dans ce cas là on avait donné ses formules à qui donne les racines du polynôme quand elles existent parce qu un polynôme peut avoir deux racines réel ou bien une seule ou bien aucune alors dans le cas où il ya deux racines et bien leçon donnée par ses formules à x 1c moimbé donc baisser ce coefficient la plus racine de bo carré - 4 ac a et c ce sont les coefficients de mon polynôme divisé par deux à ça c'est une première racine et une deuxième racing et x2 et gala - b - cette fois-ci racine carrée de bo carré - 4 assez divisé par deux à voilà alors tu vois que effectivement beaucoup de choses dépendent de ce terme la baie au carré - 4 as et ça c'est ce qu'on appelle le discriminant delta bo carré - 4 as et ça c'est le discriminant de monde polynôme du second degré et effectivement si si le discriminant nuls donc si cette valeur là et nulle et bien x1 va être égal à x2 donc on aura une seule racines réel et si le discriminant est négatif et bien on pourra pas prendre la racine carrée donc on aura aucune racine réel donc les cas où il ya deux racines réel effectivement 2,10 racines distinctes et bien c'est les cas où le discriminant va être supérieur à 0 strictement supérieur à 0 voilà donc là je voulais te rappeler rapidement les résultats qu'on avait utilisé dans les vidéos précédentes et ce qui est important aussi ce qu'on peut ajouter c'est que mon paulino mais ici je vais pouvoir l'écrire comme sap et 2x sous forme factoriser ça va être à facteur 2 x - x1 avec ce x1 qui est ici facteur 2 x - x2 donc une fois qu'on a trouvé les racines en fait on peut factoriser notre polynôme 2° 2 et du coup résoudre très facilement cette équation la paix de x égal à zéro alors on m'a vu comment utiliser ces formules dans d'autres vidéos ce qu'on va faire dans celle ci c'est comprendre d'où elles viennent ces formules c'est quand même assez intéressant en fait on va les démontrer et pour ça on va utiliser la forme canonique ça c'est quelque chose qu'on a vu aussi dans d'autres vidéos on va transformer notre polynôme pour l'écrire sous sa forme canonique donc là on va travailler avec ce polynôme là tout à fait général p 2 x égal à x x au carré plus b x x plus c'est alors je vais le faire je vais effacer ça déjà qui me servira plus et maintenant on va essayer de mettre le polynôme paix sous sa forme canonique donc pour ça je vais commencer par factoriser le coefficient à qui est ici pour me ramener en fait un polynôme 2° donc paix de xc à facteur 2 x au carré xo carey plus b / à x x + c / ah voilà maintenant tu vois que factoriser ce polynôme p ça revient en fait à factoriser ce polynôme la xe au carré plus b sur ax plus c'est donc en fait je vais travailler avec ce polynôme la plus précisément je vais essayer de mettre ce polynôme là je peux l'appeler q q 2 x sous sa forme canonique alors je vais l'écrire ici x carré plus b / à x plus c'est sûr a alors ici on va utiliser la technique qu'on a vu dans d'autres vidéos c'est à dire qu'on va essayer de reconnaître dans ce terme là c'est de cette somme là le début d'un carré est pour ça que je te rappelle qu'il fallait prendre la moitié de ce coefficient la baie sur a divisé par deux alors b / a divisé par deux qu'est ce que c'est bien c'est un demi x b / a donc finalement cb sur 2 ha donc la valeur qui peut nous être utile cb sur 2 ha et je vais regarder ici ce que me donne le problème polynomics plus b sur deux a élevée au carré alors ça c'est une identité remarquable si tu veux on peut alors ça c'est une identité remarquable je te donne le résultat en développant on trouve que cette égal à ixxo carey plus deux fois b sur deux à x + b sur deux a élevée au carré donc ça c'est égal à ixxo carré plus ici j'ai deux fois b sur deux arts donc les deux ici se simplifient et ce qui me reste c'est b / à x x + b sur deux à au carré et donc cette partie là x au carré plus b / à x x eh bien c'est ce carré - ce carré je vais l'écrire ici finalement ce que je sais c'est que x + b / à x x sas est égal à x + b sur deux a le tout élevée au carré - b sur deux a élevée au carré et puis il faut pas oublier d'ajouter ce terme-là c'est sur adam plus c'est sûr à alors je vais remonter un peu pour faire de la place alors maintenant ce que je peux faire c'est arrangé un petit peu ce terme là donc je vais réécrire la première partie qui est x x + b sur deux a élevée au carré et puis là je vais alors je vais factoriser le moins et ça va me donner moins bo carrés sur quatre a au carré l'ag et vb sur 2 ha au carré - c'est sûr à moins c'est sûr alors je vais continuer à simplifier ce terme là donc je réécris encore x + b sur deux a sans rien changer encore donc gx +2 à au carré - et là je vais faire des simplifications je vais mettre même dénominateur les deux fractions donc le dénominateur commun ici c'est 4 à au carré dans le cas de cette fraction j'ai rien à faire puisqu'elle est déjà sur k4 rocard est donc gb au carré et là ici il faut que je multiplie le numérateur par 4a pour avoir au dénominateur 4 ha au carré donc ici ça me donne moins 4 à fois c'est donc moins 4 à c'est intéressant parce que parce que tous on voit apparaître ici bo carré - 4 assez inquiets ce qu'on sait être le discriminant bo carré - 4 assez voilà donc ça ça prouve qu'on est quand même sur la bonne voie alors là tu vois qu'on a une différence un carré - quelque chose donc ici on va pas trop s'embêter sur la le signe de cette expression là on va supposer que cette fraction est positive donc que le numérateur là est positif que donc on peut prendre la racine carrée de ce parti là et finalement ce qu'on a c'est une différence de carhaix je peux l'écrire comme ça la gx plus b sur deux a le tout élevée au carré - et ça je vais l'écrire comme sa racine carrée de bo carré - 4 assez sur 4 ha au carré le tout élevée au carré et là j'ai bien fait apparaître une différence de carré donc on a de nouveau une identité remarquable qu'on peut factoriser et ça va nous donner ça alors j'ai un premier facteur je vais faire et je m décrocher un premier facteur qui est x + b sur 2 ha - ce terme là que je vais réécrire comme ça ses racines de bep au carré - 4 assez -4 à ses parts dans / racine carrée de 4 ha au carré leur racine carrée de 4 ha au carré ses racines de quatre fois racines 2 à o car est donc ces deux fois à 2 a donc ici au dénominateur g2a voilà ça c'est un premier facteur et puis le deuxième c'est x + b sur deux à la même chose plus racine carrée de bo carré - 4 assez sûrs d'eux a aussi voilà tu vois que là on a ce qu'on a fait c'est factoriser ce polynôme la xe au carré plus b / à x x plus c'est sûr à alors on va continuer un tout petit peu pour vraiment déterminer enfin voir apparaître les formules de x1 x2 que j'avais donnée au départ et j'obtiens ici x + b sur deux a moins racine carrée de bo carré - 4 assez sûrs d'eux a sur 2 a donc tu vois que là les deux fractions ont le même dénominateur donc finalement je peux les écrire comme ça je vais écrire ça de manière plus condensée donc c b - racine carrée de bo carré - 4 assez le tout divisé par deux à ça c'est mon premier crochet et le deuxième je peux le simplifier exactement de la même manière ça me donne et x plus ici les deux fractions au même dénominateur aussi donc je vais écrire comme saab et plus racine carrée de bo carré - 4 as et le tout divisé par deux à et là on voit apparaître ici les deux valeurs x1 x2 de nos formules qu'on a eus qu'on connaît qu'on avait utilisé voilà donc là on a prouvé finalement ces deux formules là ce qui est intéressant c'est qu'on l'approuvé d'une manière complètement algébrique donc mécanique sans grande difficulté technique et cette démonstration elle te montre à quel point la forme canonique et d'un polynôme est important à bientôt