Un exercice résolu en prime : Suite définie par le produit de 2 suites arithmétiques

dans cette vidéo on va résoudre le problème suivant trouver le huitième terme de la suite 1440 1716 1848 etc dont les termes dont chaque terme dont les termes sont obtiennent en multipliant terme à terme de suite arithmétique distinctes alors lorsqu'on est en train de te dire c'est que cette suite en fait en soi elle est la multiplication des termes de de suite donc par exemple on va tout de suite nommer les choses par exemple parlé d'une première suite la suite numéro un comme étant par exemple commençant par a et ensuite de raison par exemple n 1 donc ensuite ça va être à plus zen à plus de zen donc cédé suite arithmétique donc pour passer d'un terrain à l'autre on rajoute toujours la même chose la raison est ici cn etc hop et la suite numéro 2 la suite numéro 2 eh bien ça va être une suite qui commence par b par exemple et elle sa raison on va pas l'appeler n mais on va l'appeler mbd plus de ziem etc donc qu'est-ce que ça veut dire nous que par exemple 1440 là le premier terme qu'est ce que c'est eh bien c'est la multiplication du premier terme de la suite numéro un et du premier terme de la suite numéro d' donc déjà ça on peut l'écrire on peut écrire que à x b était égal à 1440 ensuite le deuxième terme la 1716 basse et la multiplication du deuxième terme de la suite numéro un et du deuxième terme de la suite numéro 2 donc on peut donc écrire que à plus n x b + m est égal à 1716 up et enfin le troisième terme c'est ce terme la fois se termina donc on peut écrire que à plus de zen x b + 2 zem égal à 1848 voilà donc ça c'est c'est le système qui qu'on n'obtient en traduisant l'énoncé du problème en langage mathématique donc c'est souvent ça évidemment la première étape de la résolution d'un problème c'est de traduire les phrases en équation donc là c'est fait donc maintenant on se retrouve avec différentes équation troie en l'occurrence et en résolvant on espère obtenir toutes les informations nécessaires pour créer le huitième terme donc le huitième terme en l'occurrence le huitième terme ce sera à plus certaines tu vois que la le le premier terme ca le deuxième terme c'est avec un facteur 1 devant le n le troisième terme c'est avec un facteur 2 donc le huitième terme c'est celui qui aura un facteur 7 donc le huitième terme ça va être le huitième terme de la suite numéro c'est à dire à plus 7 n x le huitième terme de la suite numéro 2 c'est à dire b + 7 m ça on peut tout de suite calculé à quoi s'est également développée donc ça c'est égal 1 ab plus cette fois à m plus cette fois end et cette fois des n + 49 x n m voilà alors qu'est ce qu'on peut est-ce qu'on peut avancer maintenant déjà on peut tout de suite remarqué que ab ça y est lui on l'a déjà à bella c'est 1440 d'après cette équation là ok donc ensuite un temps est-ce qu'on a directement les autres non il va falloir se servir de ces deux équations là pour essayer de remonter à la connaissance de ses membres là donc on va commencer à travailler par exemple sur sur la première la sueur celle là donc on va appeler cette équation l'équation numéro un cette équation l'équation numéro 2 cette équation l'équation numéro 3 maintenant on va travailler avec l'équation numéro 2 donc l'équation numéro 2 c'est à plus n x b + m kiéthéga l'a donc un peuple 1716 donc ça si on développe ça fait ab plus à m plus des haines plus n aime égale 1716 et là encore à b on l'a annoncé ce qui vaut donc on remplace avait par sa valeur et on le fait passer à droite et ça va donner à m plus bn plus n m est égal à 1716 - - ab qui vaut 1440 et ça fait donc 276 donc voilà une un premier travail sur l'équation numéro 2 maintenant on va faire ce même travail sur l'équation numéro 3 qui était à + 2 n acteur de bplus deuxième qui est égal à 1848 donc là je réécris juste ce qu'on avait obtenu maintenant on développe donc ça fait ab plus de za m plus de b&n +4 n aime qui est égale 1848 là encore on remplace ab par sa valeur c'est à dire toujours pareil ab est égal à 1440 et on va faire 1848 mois ab donc il nous reste ensuite et en même temps je factories par deux là donc ça fait 2 à m plus d n + 2 x n m et donc c'est égal à 4 108 ensuite je peux aussi du coup divisée par deux et ça fait à m plus d n + 2 zen m est égal à la moitié de 408 c'est-à-dire 204 voilà donc là on se retrouve avec deux équations qui sont intéressantes et sur lesquelles on va pouvoir travailler donc on va appeler cette équation la l'équation 4 et cette équation la légation 5 et donc on voit tout de suite quand je vois un peu sur ces équations on peut éliminer des ternes par exemple si je fais l'équation 5 - l'équation 4 par exemple si je fais 5 - 4 tu vois tout de suite que ces termes là là am mais bn vont s'annuler donc ça va faire à m plus bn - am plus bn donc ils vont disparaître ça va faire deux nm - nm donc il reste n m est égal à 2 104 -276 et ça ça fait moins 60 2 donc là du coup j'ai accès à la valeur de haine m donc la valeur de nm maintenant je la connais donc par exemple je peux prendre l'équation 4 et écrire que am plus bn est là la valeur de mêmes jeux que je vais passer à droite donc ça devient 276 - n m d'accord mais n aime vaut moins 72 donc ça va faire 276 +72 c'est-à-dire 348 348 je vais leur écrire mieux donc selon 348 donc maintenant est ce que tout ça c'est intéressant bah oui pourquoi pas parce que si je reviens au point de départ cet am plus bn ça je peux le mettre en facteur ça je peux très bien dire que c'est la même chose que sept facteurs de am plus bn c'est à dire cette fois et amp ce bn on l'a am plus bnc égal à 348 donc cette fois 348 et ensuite 49 x n m eh bien on sait que ces 49 x et m m vaud on l'a moins 72 - 72 donc ça y est on a on a tous les termes on a le premier abbé on a cette fois 348 +49 fois moins 72 et donc finalement le huitième terme est égal à donc là il suffit de prendre la petite calculette on n'obtient que 8 firme terme va être égal à 348 et voilà