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Calculer un terme d'une suite géométrique en utilisant sa formule de récurrence

Transcription de la vidéo

la suite géométrie qu est définie par une un égal moins un sur huit et puis égal 2 unies - un pourri supérieur à 1 calculé eu 4 le quatrième terme de la suite alors ici on a une suite géométriques ça ça veut dire que le rapport entre deux termes consécutif est toujours le même toujours constant est en fait ce rapport là c'est la raison de la suite duo métriques mais ici on a une définition qui est donnée par récurrence de la suite eu puisque on nous donne un premier terme le terme de rang 1 qui ait eu un égal à moins d'un sur huit celui ci est donné et puis ensuite pour calculer un autre terme on nous donne cette formule si qui dit que le terme de rang et ses deux fois le terme de rang et - inde donc un terme s'obtient en multipliant par deux le terme précédent voilà alors calculé eu 4 le quatrième terme de la suite c'est le terme de rang 4 et bien en fait pour faire ça il va y avoir essentiellement deux manières de faire la première ça va être d'utiliser les données qui sont ici c'est à dire que on va écrire eu 4 a pas en utilisant cette formule là puisque ça va être le terme de rang 4 dont il va être égal à 4 donc on est bien dans ce cas-ci un donc je vais tout simplement appliqué cette formule là en remplaçant ipar 4 puisque c'est le terme de rands 4 que je cherche donc j'ai eu 4 qui est égale à deux fois u11 10 4 - 1 80 ça fait 3 donc en fait ça me dit que le terme de rang 4 le quatrième terme ces deux fois le troisième terme qui est le terme de rang 3 alors le problème c'est que on ne connaît pas le terme eu trois on connaît pas le terme de rang 3 donc il faut qu'on fasse quelque chose est en fait ici ce qu'on peut faire c'est continuer à utiliser cette formule là en écrivant eu 3 alors ici je remplace y par trois et ça me dit que hull 3 est égale à deux fois une indice 3 - 1 c'est-à-dire u2 donc là c'est pareil le terme de rang 3 ces deux fois le terme de rang 2 c'est exactement ce que nous dit cette formule de récurrence simplement on ne connaît toujours pas eu deux donc il faut continuer alors je vais écrire maintenant u2 et u2 je remplace y par deux et bien c'est deux fois et eut un 10 2 - c'est-à-dire u11 u10 pas alors là heureusement on va s'arrêter puisque eu un on le connaît humain c'est moins un sur huit donc finalement je vais pouvoir écrire que u2 c'est deux fois moins un sur huit deux fois moins d'un sur huit comme ça et donc deux fois moins d'un sur huit ça fait moins un quart - un quart voilà alors maintenant que je connais u2 je vais pouvoir calculer eu trois puisque je sais que eu trois ces deux fois u2 donc en fait eu trois c'est deux fois moins un quart est deux fois moins d'un quart et bien ça fait moins un demi et du coup puisque je connais u3 je vais pouvoir finalement calculé eu quatre puisque eux quatre ces deux fois eu 3 donc c'est deux fois moins un demi et deux fois moins un demi ça fait moins 1 donc finalement le quatrième terne eu 4 u 4 il est égal à mauvezin et tu vois ce qu'on a fait c'est qu'on a utilisé cette formule de récurrence ici on est redescendu à partir de quatre jusqu'à eu trois puis deux puis eu un et qui était le seul terme qu'on connaissait et ensuite on a pu du coup remonter petit à petit jusqu'à la valeur de 1,4 alors ça c'est une première manière de faire il ya une autre manière qui est peut-être plus facile cible par exemple ici si tu devais calculer le 53e terme ça serait quand même pas très pratique il faudrait faire vraiment beaucoup de calculs pour partir de juin est remonté jusqu'à jusqu'au terme qu'on cherche donc voilà cette méthode là et pratique quand on a un terme quand on doit calculer un terme de rang pas trop élevé mais si on doit calculer un terme de rang élevé ça devient pas très pratique alors dans ce cas là ce qu'on peut faire c'est essayer de trouver la formule qui donne le terme général de la suite eu c'est à dire une formule qui donne une 10aine directement en fonction de haine alors on va regarder un petit peu ce que ça fait ici si on part du 1 ensuite on peut calculer u2 u2 ça sera deux fois eu un et puis eu 3 ça va être deux fois eu deux mais du coup eu deux jeux peut le remplacer par sa valeur ici en fonction de u1 donc ça va être deux fois deux fois u11 ensuite eu quatre bien je sais que ces deux fois une 3 donc ça va être je vais remplacer eu trois parce que je viens de décrire ici donc finalement eu 4 c 2 x 2 x 2 x 1 alors peut-être que là tu vois quelque chose sorte de règle qui se dégage c'est que finalement là j'ai eu 3 et j'ai un produit de deux fois le nombre d'eux et puis multiplier encore paru 1 donc en fait ça je peux l'écrire comme ça ces deux puissances là j'ai deux puissances 2 et 2 en fait c'est 3 - 1 donc je vais deux puissances 3 - 1 fois eu un et puis ici j'ai deux puissances 4 - 1 fois une voie là et si tu continues le processus comme ça tu peux arriver à cette formule-là humaine le terme de rang n est bien ces deux puissances n - 1 x juin voilà ça c'est ce qu'on appelle la formule qui donne le terme général de la suite du npd manière plus rigoureuse de démontrer cette formule bien sûr mais là c'est juste pour te donner l'idée de pourquoi cette formule existe et ensuite à partir de ça tu peux calculer directement n'importe quel terme ce qui effectivement prête très pratique alors on va voir si dans notre cas ça marche on doit calculer eu 4 u 4 avec cette formule ça sera je remplace n par 4 dès que je le rencontre donc ça sera deux puissances 4 - 1 80 c'est trois fois humain et u11 c'est toujours que c'est moins un sur 8 1 donc ça fait de puissance 3 ça fait 8 x - 1 sur 8 et on obtient ici effectivement encore une fois - on trouve la même valeur que tout à l'heure heureusement voilà donc ces deux méthodes sont tout à fait acceptables celle ci est beaucoup plus pratique quand on calcule des termes de rang élevé