Propriétés des dérivées et dérivée d'une fonction polynôme

bonjour dans cette vidéo on va essayer de dérivés cette fonction qui est une fonction polynôme fgx est égal à x puissance 5 + 2 x puissance 3 - 6 au carré et donc ce qu'on voudrait faire ses calculs et f primes de x alors f primes de x et bien c'est la dérive et de toute cette expression là donc je peux l'écrire comme ça c'est x puissance 5 +26 puissance 3 - x au carré prime voilà j'avais calculé la dérive et de tout ça et pour faire ça bien il faut se rappeler que la dérivée d'une somme ou d'une différence eh bien c'est la somme où la différence des dérivés ce qui veut dire qu'ici en fait je peux calculé séparément les dérivés de chaque terme et ensuite additionnés ou soustraire donc ici je vais pouvoir écrire ça comme ça je vais avoir la dérivée du premier terme plus la dérivée du deuxième terme - la dérivée du troisième terme alors le premier terme c'est celui ci x puissance 5 le deuxième terme c'est celui ci 2x au cube 2x au cube et le dernier terme cx au carré voilà donc maintenant je dois dérivés ces trois fonctions là en fait alors ici x puissance 5 c'est une fonction puissance donc je vais pouvoir utiliser la règle de dérivation des fonctions puissance si j'ai une fonction x puissance n xlv à la puissance n et je cherche à calculer sa dérivée et bien en fait c'est n x x puissance est moins à ce qui se passe c'est que l'exposant ici des sens et devient un coefficient et puis l'exposant est lui-même diminué de une unité alors ça je vais pouvoir m'en servir pour dériver la première fonction au moins ici x puissante cinq c'est exactement ce cas là avec n égale 5 donc ce que j'obtiens ses 5 x puissance 4 1 l'exposant 5 est descendu est devenu un coefficient et puis on a diminué l'exposant deux unités 5 - 1 ça fait 4 ensuite je dois ajouter la dérive et de 2x puissance 3 alors je vais le faire à côté ici la dérive est de 2 x puissance 3 donc 2 x puissance trois primes est bien là déjà je vais pouvoir utiliser le fait que la dérive et d'un nombre réel x une fonction et bien c'est ce nombre réel x la dérive et de cette fonction à ce que je veux dire c'est que ici finalement ça c'est égal à deux fois deux fois la dérive et 2x au cube deux fois la dérive et 2x occupe et ici x au cube et bien c'est une fonction puissance on exactement dans le cas du dessus avec un égal 3 donc ça c'est égal à deux fois la dérive et 2x au cube qui est trois fois donc ici je vais mettre une multiplication 3 x x au carré donc ça ça fait 6 x au carré donc cette dérive est là la dérive et de 2,6 au cube c'est 6 x au carré ensuite je vais devoir soustraire la dérive et 2x au carré x au carré c'est une fonction puissance on est exactement dans ce cas là avec une égale 2 donc la dérive et 2x au carré et bien c'est 2 x voilà là on va terminer on a trouvé l'expression de la fonction dérivés f prime donc là de la dérivée de notre fonction polynôme ici c'est 5 x puissance 4 + 6 x au carré - 2 x alors évidemment tu peux te demander à quoi ça sert cette fonction là en fait cette fonction dérivés elle te donne une expression du coefficient directeur de la tangente au point d'abc 6 la tangente à la courbe au point d'abc 6 alors par exemple si je veux calculer la pente le coefficient directeur de cette tangente au point dab 6x égal 2 eh bien je vais calculé f prime de 2 alors on va le calcul est ici f prime de 2 c'est donc je vais simplement remplacé x dans cette expression la part 2 donc ça va me donner 5 x 2 élevé à la puissance 4 + 6 x 2 x 2 élevée au carré - 2 x 2 donc ça de élevé la puissance 4 ça fait 16 5 fois 16 ça fait cinq fois 10 + 5 x 6,5 x 10 ça fait 50 + 5 x 6 30 ça fait 80 ça plus alors 6 x 2' caresser 6 x 4 6 x 4 ça fait 24 - 2 x 2 c'est à dire 4 donc ici on a en fait 80 + 24 - 4 c'est à dire 80 + 20 c'est à dire sans ça veut dire que la courbe représentatives de la fonction fo au point d'absys x égal 2 elle a un coefficient directeur qui est égal à 100 c'est une courbe vraiment très très abrupte qui monte très rapidement puisque ça veut dire que quand x augmente de une unité et bien lors données augmentent de 100 unités donc c'est vraiment très très élevé et effectivement vous pouvait s'attendre un résultat de ce genre là puisque ici on a une fonction qui commence par x puis 105 donc x puissance 5 c'est une valeur qui augmente très rapidement quand x augmente ensuite on ajoute 2 x puissance 3 qui augmente aussi assez rapidement et on soustrait x au carré ce qui diminuent effectivement la valeur mais très peu par rapport à l'augmentation qui est donné par les termes précédent donc effectivement c'est cohérent avec ce qu'on pouvait attendre ici en regardant l'expression de notre fonction