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Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :6:37

Transcription de la vidéo

dans la dernière vidéo on avait réussi à démontrer que si f était une fonction constante sa dérive est est ténue donc le nombre dérivés d'une fonction constante est égal à zéro en tout point et ça on l'avait démontré d'une part par le calcul en repartant de cette définition du nombre dérivés et puis aussi on en avait donné une interprétation graphique pour essayer de bien comprendre ce que ça voulait dire et ça c'est quand même toujours un bon réflexe donc ça c'est un premier résultat important qu'on avait a démontré dans la dernière vidéo et dans cette vidéo on va trouver deux autres résultats assez important en fait on va considérer deux cas que tu vas rencontrer très très fréquemment et tu verras que en fait c'est ses propriétés qu'on va voir dans la vidéo précédente et dans cette vidéo et bien ce sont des propriétés que tu vas utilisé en permanence sans arrêt quand tu vas dérivés des fonctions donc la deuxième propriété que je voudrais voir maintenant c'est qu'est ce qui se passe quand on a une fonction f qui est défini comme sa sève de xc cas fois une autre fonction g2x donc à est une constante par exemple si tu dérivé la fonction g2x égale x et bien ce qu'on va voir c'est comment dérivés la fonction 2 x x donc ça c'est effectivement très intéressant c'est le genre de chose qui va nous arriver très souvent et donc ici de ce qu'on va trouver en fait c'est que la dérive et de fdf primes de x et bien c'est 4 fois la dérive et de g c'est à dire que on peut sortir la constante de la dérivation donc ça c'est le résultat qu'on va essayer de prouver dans cette vidéo alors évidemment on pourrait donner une interprétation aussi graphique 1 parce que cette relation là elle veut dire en fait que le coefficient directeur de la tangente à la courbe et fo point d'abc 6 et bien c'est qu'à fois le coefficient directeur de la tangente à la courbe de géo point d'abc 6 voilà bon ça ça serait quelque chose d'intéressant à faire ici ce qu'on va faire c'est directement essayer de montrer par le calcul donc pour ça je vais repartir d'une de ces deux définitions ce sont les mêmes je vais partir de celle là qu un petit peu plus générale et je vais donc écrire que f primes de x et bien c'est la limite qu'en achetant vers 02 f 2 x + hb - f2 x / h et ici maintenant je sais que f 2 x + hb en fait c'est qu'à fois g2x plus h donc je vais pouvoir réécrire ça comme ça maintenant âge limite qu'en achetant vers 0 2 k fois g2x plus h ça cf 2x plus h et puis gf2 xc cas fois g2x donc ici je vais avoir moins qu'à fois g2x et je doit diviser tout ça par h alors tu vois à quelque chose qu'on peut faire tout de suite c'est vraiment un peu pour faire de la place c'est factoriser le cac est là donc ça je vais réécrire comme sa limite dans h 00 du coup je vais mettre qu'un facteur donc ça me donne qu'à fois g2x + hb - g2x de l'ag factoriser cas au numérateur et je divise tout ça par h ici qu'à est une constante ce qui veut dire qu'elle ne varie pas en fonction de h donc je peux le faire sortir de la limite et savament du coup me donner sa ka fois la limite quand h temps vers 02 g2x plus h g2x + hb - g2x le tout / h effectivement ce terme qu'elle a dans la cette limite la cg primes de x par définition donc finalement on obtient bien ce qu'on cherchait c'est à dire que f primes de x est égal à 4 fois j'ai primes de x voilà alors là ce qui est intéressant c'est que effectivement cette formule là elle peut paraître intuitivement juste mais maintenant on vient de le démontrer de manière rigoureuse par le calcul en repassant par les définitions et donc on est sûr que ça marche et ça c'est quelque chose de très important en mathématiques c'est que on ne peut pas satisfaire de quelque chose qui a l'air juste il faut toujours s'assurer et démontrer que c'est le cas voilà donc là on l'a fait maintenant on sait que si on doit dérivés par exemple la fonction f 2 x égal 3 x x eh bien on va utiliser cette preuve de cette propriété l'aef primes de x ça sera trois fois la dérive et 2 x dont trois fronts exprime et exprime est égal à 1 donc ici on va avoir trois fois 1 donc 3 alors maintenant on va étudier un troisième cas très fréquent est celui d'une somme de deux fonctions donc on va prendre une fonction je vais l'appeler quand elle est la fonction grand f 2 x et bien c'est une somme de deux fonctions donc c'est petit f2 x + g2x donc ça ça va être un cas très fréquent ça peut être par exemple la fonction x + 1 donc f 2 x sera égal à x et g2x égal à 1 et bien dans ce cas là on va démontrer que la dérive et de grand fc la dérive et de petit f plus la dérive et de g ce qui veut dire que tout à l'heure on avait réussi à faire sortir la constante d'une dérive de la dérivation ici on va pouvoir dérivés terme à terme donc je répète un ce qu'on doit démontrer ce qu'on va essayer de démontrer c'est que la dérive et de grand f c'est la dérive et deux petites f plus la dérive et de g donc là je vais partir de la définition de la dérive et de greffe dont quelques primes de x je sais que c'est la limite qu'en achetant vers zéro qu'en achetant vers 02 grand f 2 x + hb - grand f 2 x / h maintenant je vais utiliser le fait que f 2 x est égal à f2 x + g2x alors je vais écrire ça comme ça j'ai limites quand acheteurs vers 02 grand f 2 x plus sachez bien grand f 2 x + hc petit f2 x + h+ g2x plus h donc ici j'ai petit f2 x + h plus g2x plus h ça je répète c'est ce terme-là grand f 2 x + h ensuite j'ai moins quand f 2 x et grand f 2 x et petit f2 x + g2x donc ici je vais avoir moins petit f2 x + g2x et je divise tout ça par h alors maintenant je vais essayer de clarifier un peu ce que j'ai au numérateur donc je réécris sa limite quand h dans vers zéro limit qu'en achetant vers 02 et je vais déjà enlevé ces parenthèses donc ça va me donner f 2 x + hb plus g2x + hb - f2 x - g2x le tout / h je descends un peu pour faire de la place et maintenant ce que je vais remarquer c'est que ici gf2 x + hb - f2 x sas est intéressante puisque c'est quelque chose qui est dans l'expression de f prime est de la même manière j'ai g2x + hb - g2x qui aussi intervient dans l'expression de geprim alors je vais écrire ça comme ça limite quand achetant vers 02 f 2 x + hb - ftx plus g2x + hb - g2x et le tout / h et du coup ce que je disais tout à l'heure c'est qu'on a ici quelque chose qui est très proche du nombre dérivés de f au point d'abc 6 est ici quelque chose qui est très pur proche du nombre d'arrivées de géo point d'abc 6 plus précisément ce que je vais faire c'est écrire ça comme ça j'ai limite qu'en achetant vers 02 f 2 x + hb - f2 x le tout / h plus la limite qu'en achetant vers 02 g2x + hb - g2x / h et du coup effectivement on trouve notre résultat cette partie là c'est effectivement f primes de x et cette partie la cg primes de x donc on trouve ce qu'on voulait c'est à dire que f grand et primes de x la dérivée de la somme de ces deux fonctions eh bien c'est la somme des dérivés des deux fonctions exprime 2x plus j'ai primes de x voilà on va s'arrêter là il faut bien que tu comprennes pourquoi ces résultats sont vraies c'est un très important et surtout il va falloir que tu saches les appliquer et très très facilement parce que tu vas en avoir tout le temps besoin