If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :8:28

Le nombre dérivé en 3 de la fonction carrée

Transcription de la vidéo

je voudrais commencer par te rappeler un petit peu les résultats auxquels on est arrivé dans les vidéos précédentes alors ce qu'on considérait c'était la courbe représentative d'une fonction donc une fonction f voilà j'ai tracé une courbe représentatif d'une certaine fonction f et puis sur cette courbe on avait considéré un point m n'importe lequel celui là de dap 6,6 et d'ordonner f 2 x et ensuite on avait considéré un deuxième point différent donc disons dab 6x plus quelque chose x + hb alors ici on sur le dessin h est positif mais ça pourrait très bien être une valeur négative aussi donc voilà ce point là un prime il a pour abscisse x + hb et pour ordonner du coup f 2 x + hb puisque c'est un point de la courbe ensuite on avait considéré une droite qui passe par ces deux points m & m prime donc c'est une séquence et quant à la courbe coupe la courbe en deux points m&m primes et ensuite on avait exprimé là le coefficient directeur donc la pente de 7 c'est quand avec cette expression là on avait rapporté la variations désordonnées à la variation des abscisses donc on avait considéré que la pente de cette séquence et bien c'est le taux de variation de y par rapport à x et on avait obtenu cette formule-là d'état y c'est cette distance là qu'on retrouve ici donc cf 2 x + hb - f2 x c'est ça et puis delta x c'est la distance entre ces deux points donc c'est x + hb - x c'est-à-dire h donc finalement on avait obtenu cette expression là du coefficient directeur de là c'est quand ensuite ce qu'on avait faits s'était imaginé que le point m prime se rapprocher du point m en fait ce qu'on avait fait c'est diminuer le nombre h qui exprime la distance entre ces deux apsys donc lorsqu'on avait fait s'est rapproché tout en restant sur la courbe le point m prime tu vois que là je peux le faire je peux faire bouger ce point est de prime et j'obtiens d'essai quand différente à chaque fois et la pente de cesser quand est toujours donnée par le taux de variation qui est ici est ce qu on avait remarqué c'est que à la limite quand hic quand h devient vraiment très très petit et bien là c'est quand se rapproche en fait de la tangente voilà je les rater voilà ça c'est du coup la tangente à la courbe au point d'abc 6 c'est à dire que c'est une droite qui touche la courbe en ce point là alors ça ça nous avait conduit à une nouvelle notion qui était la notion de nombre dérivés et le nombre d'arrivées on l'avait exprimé comme ça c'est la limite qu'en achetant vers zéro donc c'est ce qu'on a fait de cette expression la sève de x + hb - f2 x suracheté ça c'est exactement le coefficient directeur de l'ass et quand donc le nombre d'arrivées de f1 x et bien c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abc 6 et on obtient comme ça en calculant la limite qu'en achetant vert 0,2 ce taux de variation voilà c'est intéressant cette petite animation parce que on voit bien que là c'est quand à la limite quand h devient d'anvers 0 eh bien là c'est quand se rapproche de la tangente à la courbe voilà alors maintenant on va faire un petit exercice justement pour appliquer cette formule à essayer de déterminer le nombre dérivés d'une certaine fonction en vain certains points alors on va faire cet exemple là ici j'ai tracé la courbe représentatives de la fonction y égale x au carré donc la fonction je vais l'appeler fcf 2x égale x au carré et puis ce qu'on va faire c'est essayer de calculer avec les formules convient de revoir le nombre d'arrivées de cette fonction est faux au point d'abc x égal 3 donc le point d'abc 6 égal 3 l'abc 6 également 3 est ici donc ça ça c'est le point de la courbe correspondante ce qui veut dire que ici on af23 f 2 3 et puis maintenant je vais prendre un deuxième point sur cette courbe alors n'importe quel point je vais le prendre ici par exemple voilà celui là est son l'abscisse je vais dire que c'est comme je veux prendre un point je veux pas prendre ce point cette valeur 5 ici je vais prendre n'importe quel point donc je vais dire que son absence ses trois plus quelque chose trois plus alors je pourrais dire 3 + hb comme on a vu tout à l'heure mais là je vais utiliser une notation très connue très utilisé je veux dire que ces trois plus une certaine variation que j'appelle delta x donc cette distance-là ici c'est delta x delta x ici voilà donc ce point là il à absys 3 + + deltaïques ces puits sont ordonnés cf2 3 + delta x donc ce point là ici cf 2 3 + delta x alors maintenant je vais tracé là c'est quand à la courbe qui passe par ces deux points donc ça je vais le faire comme ça voilà à peu près ça donc tu vois que c'est une c'est quand elle coupe la cour dans ces deux points là le point de coordonnées 3f 2,3 et le point de coordonnées 3 + delta x f2 trois puces delta x et donc d'après ce qu'on a vu tout à l'heure la pente de cette séquence eh bien elle est donnée par l'expression delta y sur delta x c'est le taux de variation de cette c'est quand et delta y c'est cette distance là donc c'est la différence entre f de trois puces delta xpf de 3 donc cf3 plus delta x - f2 3 cette différence là et je dois d'ipic diviser sa part delta x et deltaïques c'est cette distance-là de 3 à 3 + delta x donc c'est delta x ce que j'ai appelé telle taxe alors maintenant puisque je connais l'expression de f et bien je peux calculer c'est ses nombreux là en fonction de delta x évidemment alors je vais commencer par eve 2 3 + deltaïques c'est bien ces trois plus delta x élevée au carré - f2 trois élèves de 3 c3 au carré et je veux diviser tout ça par delta x alors je vais développer tout simplement numérateur j'obtiens 3 au carré + le double produit donc deux fois trois fois deltaïques c'est à dire six fois delta x + delta x élevée au carré je vais l'écrire comme ça pas qu'on se trompe et puis j'ai moins trois élevée au carré qu'il faut pas oublier voilà et je divise tout ça par delta x alors ici j'ai 3 - 3 au carré ça se simplifient et donc ce que j'obtiens c6 delta x + delta x élevée au carré le tout divisé par delta x alors tu vois que là je peux factoriser delta x au numérateur et ça me donne delta x factor de 6 plus delta x / delta x donc ici les deltas x se simplifient et ce qui me reste c'est 6 + delta x donc ça c'est la pente de set up c'est quand là et tu vois qu'un évidemment cette pente elle dépend de delta x puisque c'est normal elle dépend du second point qu'on a considéré sur la courbe donc si par exemple je prends deltaïques ségala 1 je vais remonter un petit peu si je prends deltaïques ségala 1 c'est à dire que je vais considérer le point de coordonner 3 + 1 c'est à dire 4 et f24 et bien dans ce cas là la pente de là c'est quand tu es bien ses six plus un c'est à dire 7 le coefficient directeur de l'ass et quand c'est illégal à 7 mais évidemment si tu donnes une autre valeur à deltaïques c'est bien tu vas trouver une autre pente ce qui est normal puisque si tu te mets un autre endroit par exemple ici eh bien là c'est quand évidemment n'est pas la même une autre séquence voilà mais ça en tout cas c'est l'expression du coefficient directeur de l'ass et quand en fonction de delta x alors maintenant si on veut calculer le nombre dérivé de la fonction f au point d'abc 6 égal 3 et bien ce qu'on va faire c'est imaginer que le delta x tend vers zéro donc on va prendre la limite camp delta x tend vers zéro de la pente de là c'est quand qu'on a obtenu ici et ça ça me donnera la tante de la tangente le nombre dérivés f prime de 3 calculé au botswana au point d'abc 6 égal 3 1 c'est la pente de la tangente au point d'abc 6 égal 3 et ça on l'obtient en prenant la limite camp delta x tend vers zéro alors ça attention c'est une notation un peu différente qui peut dérouter par rapport à tout à l'heure mais ça veut simplement dire qu'on fait tendre l'écart entre les 2 ap 6 à 0 et donc il faut qu'on prenne la limite de la pente de là c'est quand c'est à dire de 6 plus deltaïques ce camp delta x tend vers zéro alors la limite de 6 pouces deltaïques ce camp delta x tend vers zéro et bien c'est 6 voilà donc le nombre dérivé de la fonction x au carré au point d'abc 6 égal 3 eh bien c'est 6 alors on peut calculer de cette manière là le nombre dérivés en n'importe quel point de la fonction f mais ce qui serait intéressant c'est d'avoir une formule générale pour pouvoir le faire directement sans avoir à refaire tous ces calculs convient de faire ici et donc à réutiliser le calcul des limites voilà alors ça ça sera l'objet des prochaines vidéos à bientôt