If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :11:07

Les points d'intersection des courbes des fonctions sinus et cosinus

Transcription de la vidéo

pour quelle valeur de teta allant de zéro à deux piles obtient ton sinus de teta est égal à caussinus de teta alors la stratégie que je te propose pour résoudre ce problème c'est d'abord de visualiser les fonctions sinus et caussinus entre 0 et 2 pi sur ce graphique de d'identifier les points d'intersection entre les deux entre les deux représentations graphiques et sa l'abscisse de ces points d'intersection ça nous donnera lé et état pour lequel sinus de détail des galas caussinus de teta tu connais cette technique bon ça ça nous permettra de visualiser les choses ensuite on trouvera une méthode pour déterminer très exactement quelles sont ces valeurs de teta alors allons-y d'abord faisons 1 1 un croquis de la représentation graphique de cosinus de d'état alors ça on l'a déjà fait dans les vidéos précédentes il faut identifier donc l'ap six de ces points là les abscisse de ces points là et ça l'a envers je suis en train de les souligner et ça ça nous donnera des valeurs de de cosinus de teta pour ses ongles remarquable 0 puis sur deux pitres woippy sur deux et de pied alors voilà donc c'est 1 0 - 1 0 1 0 - 1 0 et lorsqu'on a fait un tour complet bas on retourne à l'angle 0 et la piste du point c'est un donc que sinus de débit est égal à 1 est de même pour ses muses de teta on doit regarder les ordonner de ces points là et ça ça ne donne sinus de teta pour chacun de ses angles là donc d'abord on commence à 0 sinus de tête à égal zéro pour un angle de zéro le voilà ensuite 1 0 1 0 - 1 et finalement on retourne à deux pays donc si nice 2 2 pi est égal à zéro voilà ça donne assez d'informations pour placer les points sur la représentation graphique la courbe représentants dans la fonction caussinus donc caussinus 2 0 est égal à 1 ce point et sur la courbe de la fonction caussinus que c'est les deux pieds sur 2,0 caussinus depuis - anzin caussinus de trois pieds sur 2,0 caussinus de 2 pi 1 la voilà la courbe représentatives de la fonction caussinus pour teta allant de 0 à 10 c'est un cycle complet d'un pic jusqu'à d'autres pics et pour la fonction sinus on part de zéro puis sinus depuis sur deux est égal à 1 sinus deux pays 0692 3p sur 2 - 1 c'est nice 2 2 puis 0 et voilà la fonction sinus pour des valeurs de teta allant de 0 à 2 pi là le maximum ici il est censé être à ce point là voilà un dessin un peu approximatif mais tu arrives à voir à quoi ressemble la fonction caussinus et la fonction sinus et si on à anvers y est égal à caussinus de teta et en bleu on à la courbe de y est égal à sinus de teta et comme je te l'annoncé au début de l'exercice pour identifier les angles pour lesquelles on a sinus de cet angle et gallo caussinus de cet angle il faut identifier les points d'intersection entre les deux courbes et là on voit qu'il y en a deux il y en a un ici et un là donc il y à cet angle d'état il ya cet angle ici qui semble être à mi chemin entre 0 et pis sur deux donc on dirait que ses pieds sur 4 1 puis / 2 / 2 où on a d'abord un point d'intersection donc on dirait que caussinus deux pistes sur quatre étaient gala si mu depuis sur quatre est ici on a un autre angle qui est à mi chemin entre pie et trois pieds sur deux donc pis c'est la même chose que quatre pays sur quatre et trois pieds sur deux si on multiplie en haut et en bas par deux on voit que ses 6 pi sur 4 donc à mi chemin entre quatre pieds sur quatre et six pieds sur quatre est bien on est à 5 pi sur quatre cinq pêcheurs cadeau qu'on dirait que sinus de 5 pi sur quatre est égal à caussinus de 5 pi sur quatre car on a un point d'intersection ici entre la fonction sinus et la fonction caussinus donc les voilà de deux points d'intersection et donc nos deux angles pour teta est égal à pi sur 4 1 pour teta étaya l'api sur quatre et teta est égal à 5 pi sur quatre on a on a caussinus de teta est égal à sinus de teta et ça on va le vérifier en utilisant notre cercle trigonométriques on va les placer ses deux angles ici on a un angle de pied sur quatre donc ici on est appuyé sur quatre est entre pia mi chemin entre pie et trois pieds sur deux on a 5 pi sur quatre donc ce qu'on est en train de dire c'est que l'ap 6-2 ce point caussinus depuis sur quatre est égal alors donné de ce point sinus depuis sur quatre ça a l'air d'être le cas d'ailleurs visuellement à sept longueurs là est égale à sept longueurs là et de même ce qu'on est en train de dire c'est que l'ap 6-2 ce point caussinus de cinq pieds sur quatre est égal alors donné de ce point sinus de 5 pi sur quatre et ça on va le démontrer on va le démontrer or grâce à ce triangle rectangle on va dessiner ce triangle rectangle ici en violet je vais leur dessiner ici ce triangle rectangle qui est une hypothèse est égal à 1 car on est sur le cercle trigonométriques qui je le rappelle à un rayon de 1 qui a un angle droit ici et un angle de pi sur quatre là et si on a un ongle de pied sur deux ici un angle de pied sur quatre ici et bien cet angle là cet angle là est aussi égal à pied sur quatre car c'est comme ça qu'on obtient une somme des angles est égal à phi phi sur quatre puces fille sur quatre ça fait chier sur 2 auquel j'ajoute pis sur deux ça devient en pis donc on a bien la somme des angles ce triangle est égal à pis si ce dernier angle est égal à pied sur quatre ici si on a un angle le pied sur quatre ici est donc depuis sur quatre là ça veut dire qu'on a affaire à un triangle isocèle 1 2 angles ego ici donc on a un triangle isocèle avec ses deux côtés égaux ces deux côtés égaux à la même valeur à la même valeur qu'on va appeler a pour l'instant quand on sait pas de ce qu'elle vaut mais on sait que ici sept longueurs là c'est caussinus le pi sur quatre que sinus depuis sur quatre et sept ordonnée enfin ce sept longueurs là ici ses sinus de pied sur quatre sinus de qui sur quatre là on vient de démontrer que vu qu'on a un triangle isocèle ici et d'un sait on assez deux côtés qui sont égaux à aa et sinus depuis sur quatre ecosys de pi sur quatre sont tous les deux ego à cette valeur de a donc on a bien vérifié que effectivement lorsque tu es tu à égal puis sur quatre sinus de teta est égal à caussinus de teta est de même de même pour 5 pi sur quatre et demande à ce triangle rectangle à on a ce triangle rectangle acquis à un angle de pied sur quatre ici car cinq pistes sur quatre c'est juste pipe l'uspi sur quatre et donc si on appuie sur quatre ici on a aussi pu sur quatre ici on a une fois de plus un triangle rectangle isocèle comme on l'avait ici et de pots pour cet angle là on est du côté négatif des x et du côté négatif des y donc là on a cette valeur là qui est égal à -1 et cette valeur là qui égala - a également donc ici on a caussinus de thé taquet et gallas et muse de teta et tous les deux sont égaux à -11 a alors qu'ici ils étaient égaux à cette valeur de a alors maintenant la question que tu pourrais te poser c'est quelle est cette valeur à 1 et là on va on va aussi ajouter ça comme questions à cet exercice trouvé cette valeur est là c'est assez simple il faut utiliser le théorème de pythagore donc allons-y ici on aa carré plus à carey est égal à 1 donc deux fois à au carré est égal à 1 au carré 1 la somme de hao carré de hao carré est égal à l'hypoténuse au carré donc à au carré est égal à 1 au carré qui fait juste 1 / 2 à o car est égal à un demi donc à est égale à la racine de 1/2 donc à est égal à 1 sur racine de deux car la racine de 1 ça fait 1 et ça si on multiplie en haut et en bas pas racine de deux on obtient racines de deux ans aux racines de deux fois racines de deux ans bah pourquoi est ce que j'ai fait ça c'est pour me débarrasser de la racine au dénominateur car ici tu vois que lorsqu on multiplie pas racine de deux ans et en bas donc en haut on à racine de 2 et en bas on à racine deux fois racines de 2 donc racine de deux carrés donc 2 voilà la voilà la valeur de la racine de 2 sur 2 donc ici on est à moins racines de 2 sur 2 et ici on est à arras et de 2 sur 2 donc conclusion lorsque têtards prend une valeur entre zéro et deux pays il y a deux angles possibles pour lesquels le cosinus de teta est égal aux sinus de teta et c'est dans deux angles là son pied sur 4 et 5 pi sur quatre et lorsque tu étais est égal à pi sur quatre on a une valeur du caussinus et du sinus de pied sur quatre qui sont tous les deux ego à racine de 2 sur 2 et lorsque tu état est égal à 5 pi sur quatre on est ici on est à ce point là et le cosinus et le sinus de 5 pi sur quatre sont tous les deux ego à - racines de 2 sur 2