Le sinus et le cosinus de deux angles complémentaires

On va démontrer que le sinus d'un angle est égal au cosinus de son complémentaire.

Dans un triangle rectangle, la somme des angles aigus est égale à ${90}^{\circ }$‍, donc les angles aigus sont complémentaires.

Par définition, le sinus de l'angle $\theta$‍ est :

Ce $\text{quotient}$‍ est, par définition, le cosinus de l'autre angle aigu du triangle :

Donc $\sin (\theta )$‍ et $\cos ({90}^{\circ }-\theta )$‍ sont définis par les mêmes quotients.

On a démontré que $\sin (\theta )=\cos ({90}^{\circ }-\theta )$‍.

Autrement dit, le sinus d'un angle est égal au cosinus de son complémentaire.

Cette démonstration n'est valable que si $\theta$‍ est compris entre $0^{\circ }$‍ et ${90}^{\circ }$‍. Vous apprendrez plus tard que cette relation est vraie quelle que soit sa valeur en radians.

"sinus" et "cosinus", tangente et cotangente, sécante et cosécante... d'où le néologisme "co-relation". Si $f$‍ et $g$‍ sont des co-relations, alors

et

$g(\theta )=f({90}^{\circ }-\theta )$‍.

On a :

Ce résultat est assez remarquable pour qu'on ne l'oublie pas !