Modélisation de la température au cours d'une journée

en juin à johannesburg on atteint une moyenne en moyenne une température minimale de 3 degré maximal de 18 degrés celsius chaque jour du mois on attend typiquement la température moyenne de la journée à 10 heures et à 22 heures et la température maximale on l'attend au cours de l'après midi cette température de 18 degrés et on nous demande de donner une expression de la température en fonction de l'heure de la journée à partir de minuit est vieux qu'on a ce phénomène cyclique des températures au cours de la journée qui varient entre le chaud et le froid on aura une aura une sinusoïdale on aura une fonction trigonométriques alors je te conseille de faire pose évidemment comme chaque fois pour essayer de le faire par toi même et là je vais te montrer la solution où je vais commencer par faire une représentation visuelle de ma fonction de la température en fonction donc en degrés celsius en fonction de l'heure de la journée là j'ai le temps en art et on nous dit qu'il faut commencer à partir de minuit et là tu verras que c'est ça le défi de cet exercice quelque chose que tu n'a peut-être pas encore fait et tu vas te retrouver confronté à une fonction qui ne commence ni par son maximum au minimum ni par la valeur moyenne et on va voir comment est-ce qu'on traite ce genre de problème alors on a commencé à minuit donc à l'heure zéro et on retourne à minuit à leur 24e ce qui en fait la même chose que zéro et je vais représenter 22 heures ici où il se passe quelque chose de particulier on atteint la température moyenne est 10 heures ici où on atteint aussi la valeur moyenne et je sais que ma température minimale ces 3 degré maximal 18 degrés je peux facilement trouver la valeur moyenne de la température moyenne qui est la moyenne entre le minimum et maximum donc la moyenne de 18 et 3 c 21 / 2 donc 10 et demi la température moyenne et 10,5 degrés très bien donc en ayant des informations à disposition déjà je sais que ma courbe va passer par ce point est ce point ça ça vient de l'annoncer on nous dit qu à 10 heures et à 22 heures on atteint cette température moyenne de 10,5 degrés je sais que le maximum je vais l'atteindre pendant l'après midi ça on nous le dit ici donc c'est quelque part entre 10h et 22h et sait où est ben c'est pile à mi chemin entre 10h et 22h ça c'est caractéristique des fonctions trigonométriques elle passe par un maximum à mi chemin entre 2 de moyenne et donc c'est à 16 heures qu'on attend ce maximum car il y à bath et 16h qui à mi chemin entre 10 et 22 10 + 6 16 16 pluie 6,22 très bien et le minimum on va l'atteindre du coup à 10 - 6 c'est-à-dire à 4 heures du matin et voilà lorsque je vais atteindre 3 degrés ce sera à 4 heures du matin et pour retrouver la prochaine fois à gauche où je vais atteindre la valeur moyenne et bien il faut retourner à 22 heures de la journée d'avant donc là je vais représenter sa com - 2 mais il s'agit du 22h de la journée d'avant et là je verrai atteindre la valeur moyenne et je fais donc face à un problème ici que je venais de mentionner avant c'est ce point là qui est difficile à identifier et et jusqu ici tu as eu l'habitude de te confronter à des fonctions qui commence par une moyenne d'un maximum - minimum et ce n'est pas le cas dans cet exercice là donc on va voir comment on traite ça le but maintenant bas à partir de cette représentation visuelle qui va nous aider c'est de déterminer la température en fonction du temps qu'elle est l'expression de la température en fonction du temps et pourquoi pas faire pause à ce moment là pour essayer de faire le reste de cet exercice par tonne alors il ya déjà quelques petites choses qu'on connaît sur cette fonction on va d'abord commencer par ce qui est plus facile ce qu'on sait faire déjà on peut trouver l'amplitude de la fonction facilement et la période également la période qui sépare ce point et ce point là en fait il s'agit des 24 heures de la de la journée ces deux là où on fait un cycle complet donc on a une période de 24 et une amplitude bas qui c'est ce qui sépare le maximum de la valeur moyenne donc 18 - 10,5 qui fait 7 5 donc je connais l'amplitude je connais la période je connais la valeur moyenne ça c'est des caractéristiques principales de ma fonctions trigonométriques et je peux donc déjà écrire que la température en fonction du temps eh ben elle ressemble à cette expression lakiha pour amplitude 7,5 donc ce que je ne sais pas c'est ce que ma fonction commence par un plus ou un moins et si c'est un caussinus on insinue ça je le je le trouverais plus tard donc que si nous unit le sinus de quoi de 2 pi / la période de 24 heures alors x x coiffe wattez - tr je vais appeler ça tr et tu verras à quoi ça me sert plus tard ce tr qui veut dire tu es retard c'est par rapport cc pour prendre en compte justement ce décalage horizontale par rapport à ma fonction génériques et je vais t'expliquer ça davantage plus tard et finalement je dois ajouter à la fin la valeur moyenne qui fait que je passe d'une d'une moyenne de 0 à une moyenne de 10,5 par rapport à ma fonction génériques alors maintenant j'imagine que tu te sens un peu embêté à cause de cette fonction qui ne commence qui commence presque à sa valeur moyenne ici mais pas tout à fait elle a été décalée alors pour simplifier ce problème est justement il fallait considérer cette fonction qui ressemble d'assez près à ma fonction à ma fonction jaune sauf qu'elle a été décalée de deux unités vers la droite mais cette fonction bleus est bien ce qui est sympa avec cette fonction bleus c'est que c'est facile de déterminer son expression c'est quoi c'est exactement la même expression que t es là on sait déterminer si c'est une fonction plus ou moins caussinus aux sinus c'est une fonction qui commence par sa moye est donc un signe us et qui commence de manière décroissante à sa moyenne tu le vois donc c'est une fonction - sinus donc l'expression de cette fonction bleus c'est un -7 5 sinus de deux pieds sur 24 donc ça même chose que pi sur 12 t + 10 5 donc il ya une différence subtile entre cette expression bleus et l'expression jaune donc entre cette courbe et cette courbe c'est que pour avoir la jaune à partir de la bleue et ben je dois déplacer la bleue de deux unités vers la gauche et comment est ce qu'on obtient donc la courbe jaune à partir de la courbe bleue lorsqu'on regarde les expressions donc comment est ce qu'on obtient t2 en fonction du temps à partir de la fonction bleus à partir de ce deuxième t2t et bien si on veut déplacer la fonction bleus il faut lui appliquer un temps de retard ce tr dont j'ai parlé avant donc se taire ça représente le retard c'est-à-dire le déplacement à droite delà de la courbe jaune par rapport à la courbe bleue parce que si la courbe jeu de commencer ici par exemple ça voudrait dire qu'elle commencerait avec un temps de retard par exemple si on avait cette fonction là qu'ils aient commencé ici mais là ça commence avec un temps d'avancé donc tout simplement il faut il faut ajouter ces deux unités à l'intérieur de la fonction il faut faire tu es plus de ici et ben voilà on a on a ce qu'il nous faut pour exprimer pour exprimer t2t c'est une fonction - sinus donc moins 7,5 sinus 2 2 puis sur 24 donc pied sur douze fois tu es plus l'avant ce qu'on a qu'on a pris par rapport à la courbe générique donc tu es plus 2 + 10 5 et là je vais rire cette formule dans la dans sa forme la plus simple et là ce sera notre réponse finale la température en fonction de l'heure de la journée à johannesbourg il est égal à 7,5 fois sinus de pi sur 12 t + 2 pi sur 12 donc plus pis sur six plus pis sur 6 et le tout plus 10.5 et ce petit sur six ici c'est quelque chose avec lequel j'avais décidé de ne pas tomber tes jusqu'ici mais il va falloir que tu comment satisfaire ce qui est sûr si ça s'appelle le déphasage le déphasage et un déphasage de piqûres si ça veut dire quoi et impie sur 6 par rapport à deux pays c'est le douzième et ben ça veut dire que par rapport à la fonction générique on a pris une douzième de cycle davance est effectivement deux heures par rapport à 24 heures c'est un douzième du cycle donc voilà ce que veut dire le déphasage c'est par rapport à 2 pi lorsqu'on fait le rapport du déphasage sur deux pistes et la fraction de cycle qu'on a en retard si on avait 1 - ici est en avance lorsqu'on a un plus et voilà on a réussi à déterminer l'expression de la température en fonction de l'heure de la journée à partir de minuit ici qui était vraiment le le défi de cet exercice