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Heure actuelle :0:00Durée totale :8:39

Transcription de la vidéo

bonjour si tu es un familier de la khan academy je pense que tu m'a souvent entendu parler du nombreux comme étant un nombre assez fabuleux il a effectivement plein plein de deux propriétés vraiment étonnante et dans cette vidéo on va donner une démonstration de quelque chose d'assez étonnant c'est que la dérivée de la fonction exponentielle eux élevés à la puissance x eh bien c'est la fonction exponentielle elle même donc la dérive et 2e puissance x et e puissance x alors on peut montrer sa de plusieurs manières et on l'a déjà fait dans une vidéo précédente en passant par la définition de la fonction exponentielle en tant que fonction réciproque de la fonction logarithme là je vais te proposer une autre démonstration de cette relation là qui part de la définition du nombreux alors pour te rappeler le nombreux et bien c'est un nombre qui approuva leur 2.718 de 1,8 et ainsi de suite d'un nombre transcendant comme le nombre pi et il est défini comme ça c'est la limite quand elle tend vers plus l'infini de cette expression 1 + 1 suresnes le taux élevé à la puissance n voilà alors je vais faire une première remarque ça c'est une manière de définir eux on pourrait le définir d'une autre manière avec une limite non pas en plus l'infini mais en 0 tout simplement en faisant un changement de variables en disant que m est égal à 1 sur rennes donc quand on tend vers zéro le nombre m lui tend vers plus l'infini puisque ici elle est un nombre entier positif en quittant forcément à 0 par valeurs positives du coup m tend vers plus l'infini et donc on peut aussi définir eux comme ça on est comme étant la limite quand m tend vers zéro de cette expression à un plus m 1 sur rennes est égal à m élevé à la puissance 1 sur m voilà ça c'est donc une autre limite cette fois ci en 0 qui définit aussi le nombreux alors maintenant on va aborder le problème on va essayer de calculer la dérivée de la fonction exponentielle en passant par la définition de la dérive et donc la dérive et 2e élevé à la puissance x par définition et bien c'est la limite du taux de variation de la fonction exponentielle au point d'abc 6 je vais l'écrire comme ça c'est la limite camp delta x tend vers zéro 2e puissance x + delta x moins de puissance x le tout divisé par delta x là je fais rien d'autre qu' appliquer la définition de ce qu'on appelle le nombre des arrivées au point d'abc 6 alors je vais travailler un petit peu sur cette expression là est la première chose que je peux faire c'est déjà factoriser e puissance x au numérateur donc je verrai écrire ça comme ça c'est donc la limite camp delta x tend vers zéro 2e puissance x factor de alors au numérateur il va donc me restait e puissance delta x - 1 et puis au dénominateur et bien j'ai deltaïques ça ça n'a pas changé alors tu vois que ici on a un produit et le premier terme de ce produit s'est depuis 106 qui dépend pas du tout de delta x donc en fait comme il dépend pas d'elle taïx je peux le faire sortir de la limite comme ça et donc je vais obtenir cette expression là donc ça va être eux élevés à la puissance x x la limite camp delta x tend vers zéro limit camp delta x tend vers zéro 2e puissance delta x - 1 sur delta x voilà donc là on a quelque chose d'un peu peut-être un peu plus simple que ce qui est ici enfin il faut quand même qu'on arrive à avancer un peu plus parce que ça c'est pas suffisant donc ce que je vais faire c'est travailler sur cette expression la puissance delta x - 1 sur delta x est en fait je vais changer de variables je vais dire que ce que j'ai au numérateur ici c'est un nombre n donc nc e puissance delta x - 1 et du coup avec cette définition de haine ce qu'on peut voir c'est que quand delta x d'anvers 0 et bien eu puissance deltaïques ce temps vers eux puissance 0 c'est-à-dire 1 et donc n tend vers 1 - c'est-à-dire 0 donc quand delta x tend vers zéro n d'anvers 0 aussi et puis autre chose que je peux dire c'est que heu puissance delta x eh bien ça va être égal à peine plus sains et donc finalement delta x et bien c'est égal à logarithme naturel de n + 1 voilà et ça ça va me servir à réécrire cette expression là en fait même tout celle là je verrai écrire ça comme ça donc la limite camp delta x tend vers zéro 2e puissance delta x - 1 sur delta x je peux maintenant la réécrire en termes de haine non plus de delta x donc ça va me donner la limite alors on a dit que quand d'état x-tones tendait à zéro elle tendait à 0 aussi donc ses limites quand elle tend vers zéro de alors il le numérateur ces deux puissances delta 6 - 1 c'est à dire en fait cnn / le dénominateur qui est du coup deltaïques ce que je vais exprimer comme ça c'est logarithme naturel le garric naturel de n + 1 alors tu te demandes peut-être où je vais mais tu vois qu en fait j'essaie de me ramener à quelque chose qui va ressembler à la définition de e et pour ça en fait ce que je peux faire c'est diviser le numérateur et le dénominateur par n donc ça me donne limites comme caen n tend vers zéro donc je divise le numérateur parraine donc l'obtient n / rennes c'est à dire un et puis en dessous au dénominateur g1 suresnes fois logarithme de lauga de haine plus un pardon alors ici j'ai un suresnes fois logarithme de n + 1 en fait je peux utiliser une propriété du logarithme un congé à foix logarithme de b et bien ça c'est logarithme 2b puissance a donc ici je verrai écrire ça comme ça c'est la limite quand n temps vers 0 2 1 sur logarithme et là je vais mettre des crochets de haine +1 élevé à la puissance 1 sur elle et tu vois que là on a quelque chose c'est intéressant parce que l +1 élevé à la puissance 1 suresnes ses proches de cette expression là et autre chose que je peux dire c'est que la limite de cette expression là en fait ce sera un sur logarithme de la limite de cette expression ici entre crochets alors ça je vais leur écrire je vais je vais faire je vais prendre un jeu de couleurs pour que ce soit plus clair ça me donne un sur logarithme et je verrai écrire ça comme ça en jaune ici de la limite de haine quand elle tend vers zéro pardon de n + 1 élevé à la puissance 1 sur rennes voilà je remonte un petit peu que maintenant ici ce que j'ai bien c'est exactement en fait par définition le nombreux donc ça ici ça c'est le nombreux oeufs et du coup ce que j'obtiens c'est que le cette limite la limite quand deltaïques ce temps vers 0 2e puissance delta x - 1 sur delta x et bien c'est un sur le logarithme naturel 2e et puis on sait que le logarithme naturel 2e et bien c'est un donc finalement on obtient 1 sur 1 c'est à dire donc ce qu'on vient de voir c'est que toute cette expression là ici elle est égale à 1 cette limite là est égal à 1 et donc on a terminé puisque ce qu'on obtient c'est que la dérive et 2e puissance x cee puis 106 x 1 donc c'est bien ce qu'ont cherché à démontrer la dérive et 2e puissance x est égale à e puissance x tu vois que là on a démontré cette relation là en utilisant la définition du nombreux et la définition du nombre dérivés d'une fonction en un point donné