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Minimum ou maximum absolu

Pour vérifier que vous avez bien compris et mémorisé.

Comment déterminer les extremums absolus d'une fonction ?

On appelle maximum absolu la plus grande des valeurs d'une fonction et minimum absolu la plus petite de ces valeurs.
Cette leçon est à mettre en relation avec la leçon Minimum ou maximum local.
et avec la vidéo Le théorème des bornes atteintes.

Les extremums absolus sur un intervalle fermé

Le théorème des bornes atteintes : Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé open bracket, a, comma, b, close bracket alors f est bornée sur open bracket, a, comma, b, close bracket et atteint ses bornes sur open bracket, a, comma, b, close bracket. Chacune des bornes est soit un extremum local de la fonction, soit l'une de ses valeurs aux bornes de l'intervalle.
Soit la fonction h définie sur open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x. Pour déterminer ses extremums absolus sur open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket, on commence par calculer sa dérivée.\operatorname{}\operatorname{}
h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis. La dérivée s'annule en minus, 2 et en 1. On détermine son signe sur chacun des intervalles ci-dessous.\operatorname{}\operatorname{}
IntervalleValeur de xh, prime, left parenthesis, x, right parenthesisConclusion
close bracket, minus, 3, comma, minus, 2, open bracketx, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fractionh, prime, left parenthesis, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, 21, divided by, 2, end fraction, is greater than, 0h est croissante \nearrow
close bracket, minus, 2, comma, 1, open bracketx, equals, 0h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 12, is less than, 0h est décroissante \searrow
close bracket, 1, comma, 3, open bracketx, equals, 2h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0h est croissante \nearrow
D'où ce tableau :
xh, left parenthesis, x, right parenthesisAvantAprèsConclusion
minus, 39minus\nearrowMinimum local
minus, 220\nearrow\searrowMaximum local
1minus, 7\searrow\nearrowMinimum local
345\nearrowminusMaximum local
Sur l'intervalle open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket, la fonction h a un minimum local en minus, 3 égal à 9, un minimum local en 1 égal à minus, 7, un maximum local en minus, 2 égal à 20 et un maximum local en 3 égal à 45.\operatorname{}\operatorname{}
Le plus petit des minimums locaux, minus, 7, est le minimum absolu et le plus grand des maximums locaux, 45, est le maximum absolu.
La fonction atteint son minimum absolu en un point situé à l'intérieur de l'intervalle et son maximum absolu en l'une des bornes de l'intervalle.
Exercice 1
  • Actuelle
f est la fonction définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, minus, 3, x, squared, plus, 12.
Quel est son maximum absolu sur l'intervalle open bracket, minus, 2, comma, 4, close bracket, question mark
Choisissez une seule réponse :

Les extremums absolus d'une fonction sur son ensemble de définition

Il n'est pas vrai que toute fonction a au moins un extremum absolu sur son ensemble de définition, c'est le cas de certaines fonctions seulement. Par exemple, la fonction définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x n'a ni minimum absolu, ni maximum absolu sur .
Soit la fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript. Cette fonction est définie sur et nous allons établir qu'elle a un minimum absolu sur .
g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis. La seule valeur pour laquelle cette dérivée s'annule est minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.
IntervalleValeur de xf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisConclusion
close bracket, minus, infinity, comma, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, open bracketx, equals, minus, 1g, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 2, divided by, e, cubed, end fraction, is less than, 0g est décroissante \searrow
close bracket, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, comma, plus, infinity, open bracketx, equals, 0g, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 1, is greater than, 0g est croissante \nearrow
Que peut-on dire des valeurs de la fonction sur l'intervalle close bracket, minus, infinity, comma, plus, infinity, open bracket ?
g est décroissante pour toute valeur de x inférieure à minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction et croissante pour toute valeur de x supérieure, donc la plus petite valeur de g, left parenthesis, x, right parenthesis est sa valeur en x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. La fonction g a un minimum absolu sur .
Exercice 1
  • Actuelle
Soit la fonction g définie pour tout x, is greater than, 0 par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction
Quel est le maximum absolu de la fonction g, space, question mark
Choisissez une seule réponse :

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