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Première générale
Cours : Première générale > Chapitre 6
Leçon 3: Extremums d'une fonction- Extremum absolu et extremum relatif
- Trouver les extremums locaux d'une fonction (exemple 3)
- Trouver les extremums locaux d'une fonction (exemple 2)
- Minimum ou maximum local
- Minimum ou maximum local
- Trouver le maximum absolu d'une fonction
- Théorème des bornes atteintes
- Minimum ou maximum absolu
- Maximum ou minimum absolu sur un intervalle fermé
- Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée
Minimum ou maximum absolu
Pour vérifier que vous avez bien compris et mémorisé.
Comment déterminer les extremums absolus d'une fonction ?
On appelle maximum absolu la plus grande des valeurs d'une fonction et minimum absolu la plus petite de ces valeurs.
Cette leçon est à mettre en relation avec la leçon Minimum ou maximum local.
Les extremums absolus sur un intervalle fermé
Le théorème des bornes atteintes : Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé open bracket, a, comma, b, close bracket alors
f est bornée sur open bracket, a, comma, b, close bracket et atteint ses bornes sur open bracket, a, comma, b, close bracket. Chacune des bornes est soit un extremum local de la fonction, soit l'une de ses valeurs aux bornes de l'intervalle.
Soit la fonction h définie sur open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x. Pour déterminer ses extremums absolus sur open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket, on commence par calculer sa dérivée.
h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis. La dérivée s'annule en minus, 2 et en 1. On détermine son signe sur chacun des intervalles ci-dessous.
Intervalle | Valeur de x | h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Conclusion |
---|---|---|---|
close bracket, minus, 3, comma, minus, 2, open bracket | x, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction | h, prime, left parenthesis, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, 21, divided by, 2, end fraction, is greater than, 0 | h est croissante \nearrow |
close bracket, minus, 2, comma, 1, open bracket | x, equals, 0 | h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 12, is less than, 0 | h est décroissante \searrow |
close bracket, 1, comma, 3, open bracket | x, equals, 2 | h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0 | h est croissante \nearrow |
D'où ce tableau :
x | h, left parenthesis, x, right parenthesis | Avant | Après | Conclusion |
---|---|---|---|---|
minus, 3 | 9 | minus | \nearrow | Minimum local |
minus, 2 | 20 | \nearrow | \searrow | Maximum local |
1 | minus, 7 | \searrow | \nearrow | Minimum local |
3 | 45 | \nearrow | minus | Maximum local |
Sur l'intervalle open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket, la fonction h a un minimum local en minus, 3 égal à 9, un minimum local en 1 égal à minus, 7, un maximum local en minus, 2 égal à 20 et un maximum local en 3 égal à 45.
Le plus petit des minimums locaux, minus, 7, est le minimum absolu et le plus grand des maximums locaux, 45, est le maximum absolu.
La fonction atteint son minimum absolu en un point situé à l'intérieur de l'intervalle et son maximum absolu en l'une des bornes de l'intervalle.
Les extremums absolus d'une fonction sur son ensemble de définition
Il n'est pas vrai que toute fonction a au moins un extremum absolu sur son ensemble de définition, c'est le cas de certaines fonctions seulement. Par exemple, la fonction définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x n'a ni minimum absolu, ni maximum absolu sur ℝ.
Soit la fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript. Cette fonction est définie sur ℝ et nous allons établir qu'elle a un minimum absolu sur ℝ.
g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis. La seule valeur pour laquelle cette dérivée s'annule est minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.
Intervalle | Valeur de x | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Conclusion |
---|---|---|---|
close bracket, minus, infinity, comma, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, open bracket | x, equals, minus, 1 | g, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 2, divided by, e, cubed, end fraction, is less than, 0 | g est décroissante \searrow |
close bracket, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, comma, plus, infinity, open bracket | x, equals, 0 | g, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 1, is greater than, 0 | g est croissante \nearrow |
Que peut-on dire des valeurs de la fonction sur l'intervalle close bracket, minus, infinity, comma, plus, infinity, open bracket ?
g est décroissante pour toute valeur de x inférieure à minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction et croissante pour toute valeur de x supérieure, donc la plus petite valeur de g, left parenthesis, x, right parenthesis est sa valeur en x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. La fonction g a un minimum absolu sur ℝ.
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