Minimum ou maximum absolu

On appelle maximum absolu la plus grande des valeurs d'une fonction et minimum absolu la plus petite de ces valeurs.

Cette leçon est à mettre en relation avec la leçon Minimum ou maximum local.

et avec la vidéo Le théorème des bornes atteintes.

Le théorème des bornes atteintes : Si $f$f est une fonction continue sur un intervalle fermé $[a, b]$open bracket, a, comma, b, close bracket alors $f$f est bornée sur $[a, b]$open bracket, a, comma, b, close bracket et atteint ses bornes sur $[a, b]$open bracket, a, comma, b, close bracket. Chacune des bornes est soit un extremum local de la fonction, soit l'une de ses valeurs aux bornes de l'intervalle.

Soit la fonction $h$h définie sur $[-3,3]$open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket par $h(x)=2x^3+3x^2-12x$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x. Pour déterminer ses extremums absolus sur $[-3,3]$open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket, on commence par calculer sa dérivée.$\operatorname{}\operatorname{}$

$h'(x)=6(x+2)(x-1)$h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis. La dérivée s'annule en $-2$minus, 2 et en $1$1. On détermine son signe sur chacun des intervalles ci-dessous.$\operatorname{}\operatorname{}$

D'où ce tableau :

Sur l'intervalle $[-3,3]$open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket, la fonction $h$h a un minimum local en $-3$minus, 3 égal à $9$9, un minimum local en $1$1 égal à $-7$minus, 7, un maximum local en $-2$minus, 2 égal à $20$20 et un maximum local en $3$3 égal à $45$45.$\operatorname{}\operatorname{}$

La fonction atteint son minimum absolu en un point situé à l'intérieur de l'intervalle et son maximum absolu en l'une des bornes de l'intervalle.

Il n'est pas vrai que toute fonction a au moins un extremum absolu sur son ensemble de définition, c'est le cas de certaines fonctions seulement. Par exemple, la fonction définie par $f(x)=x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x n'a ni minimum absolu, ni maximum absolu sur $ℝ$ℝ.

Soit la fonction $g$g définie par $g(x)=xe^{3x}$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript. Cette fonction est définie sur $ℝ$ℝ et nous allons établir qu'elle a un minimum absolu sur $ℝ$ℝ.

$g'(x)=e^{3x}(1+3x)$g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis. La seule valeur pour laquelle cette dérivée s'annule est $-\dfrac{1}{3}$minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.

Que peut-on dire des valeurs de la fonction sur l'intervalle $]-\infty,+\infty[$close bracket, minus, infinity, comma, plus, infinity, open bracket ?

$g$g est décroissante pour toute valeur de $x$x inférieure à $-\dfrac{1}{3}$minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction et croissante pour toute valeur de $x$x supérieure, donc la plus petite valeur de $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis est sa valeur en $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. La fonction $g$g a un minimum absolu sur $ℝ$ℝ.