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Première générale
Cours : Première générale > Chapitre 6
Leçon 3: Extremums d'une fonction- Extremum absolu et extremum relatif
- Trouver les extremums locaux d'une fonction (exemple 3)
- Trouver les extremums locaux d'une fonction
- Minimum ou maximum local
- Minimum ou maximum local
- Trouver le maximum absolu d'une fonction
- Théorème des bornes atteintes
- Minimum ou maximum absolu
- Maximum ou minimum absolu sur un intervalle fermé
- Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée
Minimum ou maximum absolu
Pour vérifier que vous avez bien compris et mémorisé.
Comment déterminer les extremums absolus d'une fonction ?
On appelle maximum absolu la plus grande des valeurs d'une fonction et minimum absolu la plus petite de ces valeurs.
Cette leçon est à mettre en relation avec la leçon Minimum ou maximum local.
Les extremums absolus sur un intervalle fermé
Le théorème des bornes atteintes : Si est une fonction continue sur un intervalle fermé alors
est bornée sur et atteint ses bornes sur . Chacune des bornes est soit un extremum local de la fonction, soit l'une de ses valeurs aux bornes de l'intervalle.
Soit la fonction définie sur par . Pour déterminer ses extremums absolus sur , on commence par calculer sa dérivée.
Intervalle | Valeur de | Conclusion | |
---|---|---|---|
D'où ce tableau :
Avant | Après | Conclusion | ||
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Minimum local | ||||
Maximum local | ||||
Minimum local | ||||
Maximum local |
Sur l'intervalle , la fonction a un minimum local en égal à , un minimum local en égal à , un maximum local en égal à et un maximum local en égal à .
Le plus petit des minimums locaux, , est le minimum absolu et le plus grand des maximums locaux, , est le maximum absolu.
La fonction atteint son minimum absolu en un point situé à l'intérieur de l'intervalle et son maximum absolu en l'une des bornes de l'intervalle.
Les extremums absolus d'une fonction sur son ensemble de définition
Il n'est pas vrai que toute fonction a au moins un extremum absolu sur son ensemble de définition, c'est le cas de certaines fonctions seulement. Par exemple, la fonction définie par n'a ni minimum absolu, ni maximum absolu sur .
Soit la fonction définie par . Cette fonction est définie sur et nous allons établir qu'elle a un minimum absolu sur .
Intervalle | Valeur de | Conclusion | |
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