Contenu principal
Première générale
Cours : Première générale > Chapitre 6
Leçon 3: Extremums d'une fonction- Extremum absolu et extremum relatif
- Trouver les extremums locaux d'une fonction (exemple 3)
- Trouver les extremums locaux d'une fonction (exemple 2)
- Minimum ou maximum local
- Minimum ou maximum local
- Trouver le maximum absolu d'une fonction
- Théorème des bornes atteintes
- Minimum ou maximum absolu
- Maximum ou minimum absolu sur un intervalle fermé
- Démontrer une propriété d'une fonction en utilisant sa dérivée
Minimum ou maximum local
Pour vérifier que vous avez bien compris et mémorisé.
Comment déterminer les extremums locaux d'une fonction ?
f est une fonction définie sur un intervalle I et a, ∈, I. f admet un maximum local sur I en a signifie que f, left parenthesis, a, right parenthesis est la plus grande valeur de la fonction f sur I. On peut en déduire que f est croissante pour les valeurs de x inférieures à a et décroissante pour les valeurs de x supérieures à a.
f est une fonction définie sur un intervalle I et a, ∈, I. f admet un minimum local sur I en a signifie que f, left parenthesis, a, right parenthesis est la plus petite valeur de la fonction f sur I. On peut en déduire que f est décroissante sur un intervalle open bracket, a, minus, h, space, ;, a, close bracket et croissante sur un intervalle open bracket, a, space, ;, a, plus, h, close bracket avec h, is greater than, 0.
Après la leçon qui fait le point sur le sens de variation d'une fonction il s'agit ici de vous permettre de vérifier si vous avez bien compris comment déterminer les extremums locaux d'une fonction.
Exemple
Soit la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 9, x, plus, 7. Pour trouver ses extremums locaux, on commence par calculer sa dérivée :
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
Les points à étudier sont minus, 3 et 1.
Sur chacun des intervalles, il suffit de calculer une valeur de f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis pour connaître le signe de f, prime sur l'intervalle.
| Intervalle | Valeur de x | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Conclusion |
|---|---|---|---|
| close bracket, minus, ∞, space, ;, minus, 3, open bracket | x, equals, minus, 4 | f, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0 | f est croissante. \nearrow |
| close bracket, minus, 3, space, ;, 1, open bracket | x, equals, 0 | f, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 9, is less than, 0 | f est décroissante. \searrow |
| close bracket, 1, space, ;, plus, ∞, open bracket | x, equals, 2 | f, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0 | f est croissante. \nearrow |
On en déduit ce tableau :
| x | Avant | Après | Conclusion |
|---|---|---|---|
| minus, 3 | \nearrow | \searrow | Maximum local |
| 1 | \searrow | \nearrow | Minimum local |
La fonction a un maximum en minus, 3 et un minimum en 1.
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
Pas encore de posts.