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Associer un polynôme à sa représentation graphique en utilisant ses racines

Les racines d'un polynôme et la courbe représentative d'une fonction polynôme.

Le sujet traité

On s'intéresse ici aux racines d'une fonction polynôme.
On va définir ce qu'on appelle une racine multiple d'ordre n. Puis on verra comment on peut déduire du type des racines d'une fonction polynôme des informations sur la courbe représentative de cette fonction.

Des équivalences concernant les fonctions polynômes

Si f est une fonction polynôme et k un réel, les propositions suivantes sont équivalentes :
  • k est une racine réelle du polynôme ou une solution de l'équation f(x)=0
  • k est une valeur qui annule la fonction f
  • Le point de coordonnées (k,0) est un point commun à la courbe représentative de f et à l'axe des abscisses
  • On peut mettre (xk) en facteur : f(x)=(xk)g(x)
Par exemple, soit la fonction polynôme f telle que f(x)=(x3)(x+2)=(x3)(x(2)).
f(x) est le produit de (x3) et de (x(2)).
Les solutions de l'équation f(x)=0 sont x=3 et x=2. Ce sont les racines du polynôme* f.
3 et 2 sont les valeurs qui annulent la fonction f.
Les points communs à la courbe représentative de f et à l'axe des abscisses sont les points de coordonnées (3 ;0) et (2 ;0).

À vous !

1) Quelles sont les valeurs qui annulent la fonction f définie par f(x)=(x+4)(x7)?
Choisissez une seule réponse :

2) Si la courbe représentative de la fonction g coupe l'axe des x au point de coordonnées (2 ;0), alors on sait qu'une solution de l'équation g(x)=0 est :
x=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

3) La fonction h s'annule en 1 et en 3, donc une expression de h(x) est :
Choisissez une seule réponse :

Racines multiples

Si, par exemple, le facteur (xa) apparaît plusieurs fois dans la factorisation d'un polynôme alors a est appelée une racine multiple.
Par exemple, si f(x)=(x1)(x4)2, alors 4 est une racine multiple du polynôme f. On dit que c'est une racine multiple d'ordre 2.
Si on écrit tous les facteurs de f(x), alors (x4) est écrit 2 fois :
f(x)=(x1)(x4)(x4)
Si on résout l'équation f(x)=0, on obtient deux fois la solution x=4.
0=(x1)(x4)(x4)x1=0x4=0x4=0x=1x=4x=4
De façon générale, si le facteur xk apparaît m fois dans la factorisation d'un polynôme, on dit que k est une racine multiple d'ordre m. Une racine multiple d'ordre 2 est appelée une racine double.

À vous !

4) La racine multiple d'ordre 3 du polynôme f(x)=(x3)(x1)3 est :
Choisissez une seule réponse :

5) La racine double du polynôme g(x)=(x+1)3(2x+1)2 est :
Choisissez une seule réponse :

Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction ?

Le fait qu'une racine soit une racine simple ou une racine multiple est important car on peut en déduire une information sur le comportement de la courbe représentative de la fonction.
Voici, par exemple, la courbe représentative de la fonction polynôme f telle que f(x)=(x1)(x4)2. Elle n'a pas le même comportement au point d’abscisse 1 et au point d’abscisse 4.
Au point d'abscisse 1 qui est une racine simple du polynôme, elle coupe l'axe de x alors qu'au point d'abscisse 4 qui est une racine double, elle est tangente à l'axe des x.
Voici la courbe de la fonction polynôme g telle que g(x)=(x1)2(x4). Cette fois-ci, 1 est une racine double du polynôme et 4 est une racine simple.
Au point d'abscisse 1, la courbe représentative de la fonction g est tangente à l'axe des x, alors qu'au point d'abscisse 4, elle le coupe.
De façon générale, si une racine de f est d'ordre impair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de f coupe l'axe des x. Si une racine de f est d'ordre pair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de f est tangente à l'axe des x.

À vous !

6) 6 est-elle une racine multiple d'ordre pair ou d'ordre impair de la fonction polynôme dont la courbe représentative est ci-contre ?
Choisissez une seule réponse :

7) Laquelle de ces courbes est celle de la fonction h définie par h(x)=x2(x3)?
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice

7) Laquelle de ces courbes est celle de la fonction f définie par f(x)=x3+4x24x?
Choisissez une seule réponse :

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