Sens de variation d'une fonction et signe de la dérivée

alors on nous donne une fonction f donc en fait on nous donne sa représentation graphique qui est tracée ici et puisqu'on nous demande c'est de déterminer dans quel intervalle la fonction est fait tel que f 2 x est inférieur à zéro et f primes de x supérieur à zéro et on me donne plusieurs intervalles parmi lesquels il faut choisir alors fc donc la fonction fdx l'image du nombre x et f primes de x c'est la fonction dérivé de la fonction f donc en fait f primes de x et bien c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abc 6 voilà ça c'est pour décrypter un petit peu ce qu'on nous demande on va faire ça encore un petit peu mieux on va essayer de voir ce que veut dire que f 2 x est inférieure à 0 strictement inférieure à 0 donc ça ça veut dire qu'on cherche les eaux les valeurs de la variable x qui ont une image négative l'image strictement négative donc en fait on va chercher des points qui sont situées sous l'axé des abscisses alors je vais regarder la courbe pour clarifier ça encore un peu plus ici voilà ça c'est la courbe représentatives de la fonction y égale f 2 x est ce que je peux voir ici c'est que pour toutes les valeurs qui sont plus petites que cette valeur sic et disons 4,1 en quelque chose comme ça un peu plus grande que quatre eh bien les images sont situés sous l'axé des abscisses donc si je prends n'importe quelle valeur de x qui est plus petit que 4,1 et bien j'obtiens une image négative ce qui est bien ce qu'on cherchait à nous ce qu'on veut c'est que f 2 x ou est inférieure à 0 donc ça ce qu'on peut dire tout de suite c'est que d'après la courbe qui est tracée ici et bien f 2 x est inférieure à 0 6 x est plus petit que 4,1 alors ensuite on va regarder la deuxième condition est primes de x supérieur à zéro et là évidemment il faut se souvenir de ce qu'est une dérive et donc j'ai dit tout à l'heure que f primes de x c'était le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abc 6 et en fait ce dont il faut se souvenir et que quand on a une fonction dont la dérive et est positive sur un certain d'intervalle et bien la fonction sera croissante sur cet intervalle puisque chaque point de cet intervalle la tangente aura un coefficient directeur positif donc en fait cette condition l'aef primes de x supérieur à 0 strictement supérieur à 0 elle revient à se demander quand est ce que la fonction est croissante donc pour quelle valeur de x la fonction f est croissante on va regarder la courbe est effectivement ce qu'on voit ici c'est que la courbe d croit d'abord jusqu'à la valeur x égales - 1 c'est à peu près ça et ensuite à partir de x égales - 1 et bien la courbe change de variation elle devient croissante donc en termes de la fonction dérivés ça veut dire que pour x plus petit que -1 strictement plus petit que -1 et bien la pente de la tangente est négative puisque la fonction est décroissante et pour x strictement supérieur à -1 la dérivée de la fonction f sera strictement positive puisque la fonction est croissante donc la tangente en chaque point ici va être une droite croissante de coefficient directeur positif donc voilà ça c'est pour traduire les deux conditions d'autres comptes dont on nous parle ici f 2 x strictement intérieure à 0 on a dit que c'était pour x plus petit que 4,1 et puis s primes de x strictement supérieur à 0 on a dit que c'était pour x supérieur à moins-12 finalement l'intervalle qu'on cherche c'est celui l'intersection entre les deux intervalles que je viens de donner c'est à dire en fait cette partie là il faut que xr plus grands strictement que -1 et inférieur à 4,1 sur cet intervalle là on a une fonction qui est négative toutes les images sont situés en dessous de l'axé des abscisses et puis elle est croissante voilà donc on va regarder maintenant les propositions on nous propose déjà cette intervalle la moins exclus à 0 exclut donc x strictement supérieur à -1 et inférieures à zéro ça c'est bien d'après ce qu'on vient de dire en fait c'est cet intervalle là ici avec les extrémités exclu est ce qu'on peut voir c'est que sur cet intervalle n'a fonctionné bien négatives et croissante donc elle satisfait les conditions qu'on cherche donc ça cet intervalle là est bon on va regarder s'il y en a d'autres l'intervalle 2-0 exclu à deux exclus ben ça ça va marcher aussi en fait c'est cet intervalle l'a20 à deux avec les extrémités exclu et là aussi la fonction est négative elle est croissante donc ça marche aussi alors je vais sélectionner celui là et puis on nous propose aussi cet intervalle la de 4-2-4 exclu et ça marche aussi puisque c'est cet intervalle là et on voit sur le graphique que dans cet intervalle là la fonction est négative est croissante donc je vais sélectionner aussi cet intervalle la voilà alors on va vérifier si c'est bon voilà alors on va en faire un autre alors on nous donne une fonction h et on nous demande quand est-ce que h2x est positif et h primes de x est positif aussi strictement positif alors on va regarder le graphique de la fonction h la courbe représentatives de la fonction rage quittera c'est ici alors ce qu'on peut voir ici c'est que pour x inférieures à zéro la fonction est négative toutes les images sont situés en dessous de l'axé des abscisses et pour x strictement supérieur à 0 est bien la fonction est strictement positive toutes les images sont situés au dessus de l'axé des abscisses ça c'est déjà une chose ça nous permet déjà de voir quand est-ce que h2x est strictement positif ça veut dire qu'on va se restreindre en fait à cet intervalle la x plus grand que 0 strictement supérieur à 0 alors maintenant on va regarder ce deuxième cette deuxième condition h primes de x strictement supérieur à 0 en fait ce sont les intervalles sur lesquels la fonction est strictement croissante alors on va regarder ça alors pour x inférieur à cette valeur si ici qui correspond à ce minimum qui est là et bien c'est à dire on peut dire à peu près - 2009 donc pour x intérieur à moins de 29 la fonction est décroissante fonction h et par contre pour x compris entre -2 9 et puis l'abscisse de ce sommet qui hélas de ce maximum qui est 2,9 la fonction h et croissante dont caché croissante pour x compris entre - 2,9 et 2,9 à peu près et ensuite elle est de nouveau décroissante pour x supérieur à 2,9 donc finalement l'intervalle sur lequel la fonction h et croissante c'est à dire où sa dérive est positive et bien c'est l'intervalle moins 2,9 2,9 à peu près voilà donc ce qu'on cherche mousser l'intervalle des valeurs sur lequel la fonction est à la fois positive est croissante donc finalement celle intervalzero exclu 22.9 exclu à peu près pas complètement sûr de cette valeur là qui compte de 7-6 6-6 on va dire que c'est 2009 donc voilà sur l'intervalle 029 la fonction h est croissante et puis positive alors maintenant on va observer ses réponses - 4 - 1 certainement pas sûr - 4 - 1 la fonction elle est négative mais elle change de variation donc son ca dérivés va changer de signe donc ça c'est pas une bonne réponse 0-1 alors 0 1 ça ça marche 1-0 à ses biens zéro exclu et puis hein donc c'est cet intervalle là et on voit que sur cet intervalle là la fonction est positive strictement et en plus elle est croissante donc je vais sélectionner cet intervalle à sept bons intervalles et puis ensuite on nous propose celui ci x compris entre 1 et 2 strictement supérieur à 1 est strictement intérieure à deux et ça correspond en fait à cet intervalle là avec les extrémités exclus et ça c'est bon aussi donc je vais sélectionner celui là on va voir si c'est bon voilà allez un dernier alors on a cette fonction h dont on a tracé la courbe représentatif ici la voilà est ce qu'on nous demande c'est les intervalles sur laquelle elle est cette fonction-là est négative strictement et puis décroissante h primes de x doit être inférieur à zéro ce qui veut dire que la fonction est décroissante c'est ce que veut dire cette condition la hache primes de x inférieur à 0 dérivés est négatif donc la fonction et des croissants donc on cherche les intervalles sur laquelle la fonction est négative et décroissante alors on va regarder le graphique ce qu'on peut dire tout de suite c'est que pour x inférieur à cette valeur là qui est un petit peu moins que 1 09 on va dire eh bien la fonction est positif donc ça va pas nous intéresser en fait les valeurs qui vont nous intéresser ça va être les valeurs ici ou là fonction est négative donc on a h2x inférieures à zéro c'est à dire cette partie là emphatique faut que x soit supérieur à 0,9 et puis inférieur à cette valeur-là 4,1 on peut dire ou 4,2 dans cet intervalle là les la fonction h est négative et ce qu'on veut aussi c'est qu'elle soit décroissante alors ce que nous dit ce graphique c'est que la fonction h est d'abord croissante pour x inférieur à cette valeur là ici qui est moins 2,8 on va dire ensuite ici elle change de variations et pour x compris entre -2 8 et cette valeur là disons 2,6 et bien la fonction est décroissante et ensuite elle est de nouveau croissante alors ce qu'on cherche nous et les valeurs où elle est négative et décroissante donc en fait ça correspond à cette portion la de la courbe ce qui veut dire que ça va concerner les valeurs de x qui sont supérieures à 0.9 est inférieure à 2,6 à peu près ici voilà alors maintenant qu'on a décrypté ça on va regarder les propositions qu'on nous donne l'intervalle moins 4,1 avec moins trois accords et ça ne va pas puisque - 45.3 là la fonction est positive et en plus les croissantes l'intervalle de -2 à 0 ça va pas non plus puisque de -2 à 0 la fonction effectivement décroissante mais elle est positive donc ça ne va pas et puis enfin l'intervalle 3 4 3 4 c'est cet intervalle là sur cet intervalle la de 3,4 la fonction est effectivement négative mais par contre elle est croissante donc sa dérive est est positive donc ça va pas nous intéresser puisque nous on cherche les l'intervalle sur lesquels la dérégler et négatifs donc en résumé se teintent avala ne marche pas cet intervalle là non plus cet intervalle là non plus donc je vais sélectionner cette dernière proposition aucune de ces propositions ont vérifié voilà