Produit scalaire et longueur de vecteurs

dans des vidéos précédentes on a déjà vu quelques opérations sur les vecteurs on a vu par exemple ce que c'était l'addition sur le vecteur donc si je regarde l'addition de vecteurs donc je j'ai par exemple j'ai deux vecteurs g1 premier vecteur un vecteur a donc qui est à 1 à 2 et c'est le cas à n ça c'est mon premier vecteur et je peux faire l'addition de ce vecteur par un deuxième vecteur on a un vecteur qu'on appelle par exemple b1 b2 et c jusqu'à bn et si je fais du coup la somme de ces deux vecteurs ce que j'obtiens est ce qu'on a vu dans les vidéos précédentes c'est qu'on obtient un vecteur avec un coefficient à 1 + b 1 à 2 + b2 et caetera et on a la même chose jusqu'à aen plus bn donc ça on connaît on sait faire des additions de vecteur entre eux on sait aussi faire des multiplications par un scalaire on sait multiplier un vecteur par un scalaire donc la multiplication multiplication par un scalaire par un scalaire ça aussi on sait faire on prend la même façon on prend un réel c'est un point nombre et elle sait et on multiplie un vecteur donc le vecteur a encore une fois par ce réel c'est donc c'est un à deux à haisnes qu'on multiplie par le réel c'est censé faire ça nous donne en fait le vecteur avait comme confiance et à 1 c à 2 etc jusqu'à c'est à n en fait on multiplie chacun des coefficients par l'osq a versé par contre il ya une chose qu'on n'a pas encore fait on n'a pas vu comment multiplier des vecteurs entre eux et notamment il ya une façon de multiplier les vecteurs entre eux qui s'appelle le produit scalaires et c'est ça dont on va parler dans cette vidéo donc le produit scolaire alors le produit scalaires on va l'écrire si on a deux vecteurs a et b on va reprendre les mêmes on a le vecteur à le vecteur b et le produit scalaires on va l'écrire avec un point entre les deux et à quoi il égale ainsi je reprends ici mon vecteur a donc à 1 à 2 à n mon vecteur à foix donc pour du scanner mon vecteur b qui est b1 b2 jusqu'à bn en fait le produit scalaires de à barbe et ça va être à 1 x b un plus à deux fois b2 plus etc jusqu'à à n fabienne est alors la première question qu'on se pose c'est c'est quoi cette quantité là est ce que c'est un vecteur ou pas non en fait cette quantité ca c on voit ce que des des additions démultiplication de nombreux réel du coup ça c'est bien un réel c'est un scalaire ça c'est un nombre scalaires c'est pour soi qu'on appelle le produit scalaires alors on peut prendre on peut prendre des exemples par exemple on va prendre deux vecteurs un premier vecteur le vecteur par exemple 2,5 mon premier vecteur et on va faire le produit ce qu'elle est un des vecteurs de 5 par le vecteur par exemple 7 1 à quoi est-ce que c'est égal le produit vecteur le produit scalaires pardon du vecteur 2,5 par le produit 7 par le vecteur 7,1 alors ça on avait vu si on applique cette formule c'est égal à 2 x 7 les premiers éléments plus les deuxième élément le produit d'événements donc ces 5 x 1 donc ça ça fait quoi deux fois 7 14 ans 14 + 5 x 1 514 +5 donc ça me fait c'est égal à 19 on voit bien que c'est un scalaire alors bon veut faire avec des vecteurs un peu plus compliqué hein si on prend par exemple on va prendre un vecteur de victoires 3 3 on prend un premier vecteur on dit un le vecteur 1 2 3 et on va faire le produit scalaires de ce vecteur par le vecteur - 2 0 et 5 que vaut le produit scalaires de vecteurs 1 2 3 par le vecteur moins de 0,5 donc si on fait au début on a une fois moins deux c'est la première ligne plus sur la deuxième ligne deux fois 0 plus sur la troisième ligne 3 x 5 ici ça nous fait moins 2 0 ici ça nous fait 15 du coup le produit ce qu'allait rivaux moins de +15 donc niveau 13 donc ça ça définit le produit khalef entre deux vecteurs alors maintenant on va parler d'une chose qui peut paraître assez surprenante on va parler de la longueur entre guillemets la longueur d'un vecteur quelle est la longueur d'un vecteur on a l'habitude de parler de longueur a une dimension de dimension 3 dimensions on aimerait étendre finalement la notion de longues heures à des vecteurs des dimensions 10 ou 20 ou 30 je sais pas donc pour ça en fait on va définir la longueur donc j'ai descendre un petit peu on va noter en fait la longueur on va l'a noté avec deux barres comme ça et on va apprendre par exemple la longueur du vecteur à la longueur du vecteur à on va l'écrire comme ceux ci et à quoi ça va être égale ça va être égal à la racine carrée deux en fait on va prendre ça va être à 1 au carré plus à deux au carré plus etc jusqu'à aen au carré ça c'est ce qu'on va appeler la longueur du démon vecteurs en fait on va l'appeler plutôt la norme du vecteur mais la longueur c'est pour bien comprendre ce qui se passe et mettre en lien avec ce qui se passe à une dimension de dimensions ou trois dimensions est justement si on regarde par exemple ce vecteur ici qu'on va appeler on va dire qu'il s'appelle on va dire que c'est avec tarbes et si on regarde ce qui se passe pour le vecteur b quelle est la langue du vecteur b la longueur de bay d'après la définition qu'on vient de donner c'est égal à la racine carrée de deux au carré +5 au carré et du coup ça ça vaut quoi ça vous de caresser 4,5 au carré c25 donc ça fait la racine carrée de 29 alors ça tu vas me dire oui mais ça c'est complètement évident je le savais déjà c'est juste pythagore si je prends si je décide mon vecteur en deux dimensions donc je trace mais axe aimons vecteur je peux très bien dessinés donc ici c'est mon vecteur 2,5 donc 1 2 3 4 5 donc mon vecteur baisser ce vecteur ici ça c'est mon vecteur b est en fait je savais déjà que sa longueur c'était raffine de 29 parce que si j'applique pythagore dans ce triangle rectangle si ici j'ai 2 ici j'ai 5 donc je sais que la longueur de l'hypoténuse ses racines de deux au carré +5 au carré donc ça je le savais de là mais l'intérêt comme je disais au début c'est que cette formule est la formule de pythagore elle s'applique à deux dimensions cette formule ici de la longueur elle s'applique quelle que soit la dimension de mon secteur donc ça s'applique à des vecteurs de très grande dimension pour lequel je ne peux pas appliquée simplement pythagore mais on voit que ces deux notions de longueur que ce soit celle qu'on nous tient par pythagore ou qu on obtient grâce à cette formule en fait elles sont tout à fait cohérente et la question qu'on a maintenant c'est quel est le lien entre cette longueur convient de définir et le produit scalaires qu'on avait défini avant est en fait si on fait le produit scalaires de à part lui même si je fais le produit scalaires de a pas à ça j'ai le droit de le faire ça donne quoi ça me donne ici j'ai du coup à 1 à 2 et cetera jusqu'à à n c'est le produit scanner de ce vecteur par lui-même donc par les actions même chose à 1 à 2 jusqu'à à n et ça ça me donne quoi bah ça me donne en fait à un au carré plus à deux au carré plus etc jusqu'à à n o car est donc on remarque en fait ce qu'on obtient ici le produit scolaire de apparat c'est ce qu'on avait obtenu sous la racine carrée ici donc on peut dire que en fait le la norme la longueur 2e à la longueur de à c'est égal à la racine carrée de mon produit scalaires à parra et dans l'autre sens on peut dire que ma longues heures au carré la longueur de convecteurs à au carré si je passe de chaque côté au carré c'est égal à au produit scalaires de à part lui même de apparat donc on va déjà qu'on va avoir besoin en fait du produit scalaires pour pouvoir calculer des longueurs où on peut on peut dire des normes des vecteurs voilà donc ça c'était juste une première vidéo pour introduire le produit scolaire et dans les vidéos suivantes on va pouvoir un peu plus l'utiliser et utiliser le produit scalaires et les longueurs ou les normes des vecteurs sur des exemples