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Probabilité conditionnelle et indépendance

Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'apporte aucune information sur la réalisation de l'autre.
Par exemple, si on lance une pièce de monnaie non truquée, la probabilité qu'elle tombe sur Face est égale à 1/2. Si on sait que c'est un mardi que la pièce est lancée, est-ce que cela change la probabilité qu'elle tombe sur Face ? Bien sûr que non ! La probabilité d'obtenir Face sachant que cette pièce est lancée un mardi est toujours égale à 1/2. Les événements "Obtenir Face" et "Lancer la pièce un mardi" sont deux événements indépendants. Le fait que l'on soit mardi ne change pas la probabilité d'obtenir Face.
Ce n'est pas toujours aussi évident. Par exemple, si on considère le genre d'une personne et le fait qu'elle soit droitière ou gauchère. A priori, les événements "être d'un certain genre" et "être gaucher ou gauchère" sont des événements indépendants. Mais si on nous donne les informations qu'environ 10% des personnes dans le monde sont gauchères et qu'environ 12% des hommes sont gauchers, on est obligé de reconsidérer cet à priori. La probabilité qu'une personne choisie au hasard soit gauchère sachant que cette personne est un homme n'est pas la même que la probabilité qu'une personne choisie au hasard soit gauchère si on ne précise pas son genre.
Par définition,
Les événement A et B sont indépendants équivaut à p(| B)=p(A) et p(| A)=p(B).

Exemple 1 : Salaire annuel et école d'ingénieur

On a mené une enquête sur le salaire annuel de 300 jeunes ingénieurs diplômés depuis moins d'un an de deux écoles différentes.
Salaire annuelEcole AEcole BTOTAL
Moins de 19 999 362460
20 000  à 39 999 10956165
40 000  et plus354075
TOTAL180120300
On choisit au hasard l'un des ingénieurs interrogés.
Les événements A : "Son salaire annuel est supérieur ou égal à 40 000 " et B : "Il est diplômé de l'Ecole B" sont-ils indépendants ?
On calcule p(A) et p(A|B)
Exemple 1: Exercice A
Quelle est la probabilité que son salaire annuel soit supérieur ou égal à 40 000  ?
p(A)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exemple 1: Exercice B
Quelle est la probabilité que son salaire annuel soit supérieur ou égal à 40 000  sachant qu'il est diplômé de l'Ecole B ?
p(A|B)=
  • Votre réponse doit être
  • une fraction, comme 1/2 ou 6/10
  • un nombre décimal, comme 0,75

Exemple 1: Exercice C
Les événements A : "Son salaire annuel est supérieur ou égal à 40 000 " et B : "Il est diplômé de l'Ecole B" sont-ils indépendants ?
Choisissez une seule réponse :

Exemple 2 : Salaire annuel et école d'ingénieur (suite)

Les données sont toujours les mêmes :
Salaire annuelEcole AEcole BTOTAL
Moins de 19 999 362460
20 000  à 39 999 10956165
40 000  et plus354075
TOTAL180120300
On choisit au hasard l'un des ingénieurs interrogés.
Les événements A : "Son salaire annuel est inférieur ou égal à 19 999 " et B : "Il est diplômé de l'Ecole B" sont-ils indépendants ?
On calcule p(A) et p(A|B)
Exemple 2: Exercice A
Quelle est la probabilité que son salaire annuel soit inférieur ou égal à 19 999  ?
p(A)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exemple 2: Exercice B
Quelle est la probabilité que son salaire annuel soit inférieur ou égal à 19 999  sachant qu'il est diplômé de l'Ecole B ?
p(A|B)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exemple 2: Exercice C
Les événements A : "Son salaire annuel est inférieur ou égal à 19 999 " et B : "Il est diplômé de l'Ecole B" sont-ils indépendants ?
Choisissez une seule réponse :

Et si les deux résultats sont très proches ?

Lorsqu'on vérifie l’indépendance de deux événements concrets, il est rare d’obtenir des probabilités parfaitement égales. Hormis les jeux de hasard, la majorité des événements réels dépendent dans une certaine mesure les uns des autres.
Dans la pratique, on suppose souvent que les événements sont indépendants et on teste cette hypothèse à partir des données observées sur un échantillon. Si les probabilités sont significativement différentes, on conclut que les événements ne sont pas indépendants. On y reviendra dans les chapitres relatifs à la statistique inférentielle
Enfin, il faut faire très attention à ne pas déduire trop vite d'un calcul sur une série de données qu'une relation entre deux variables est nécessairement une relation de cause à effet. Les deux variables peuvent en effet être dépendantes d'une même troisième variable.

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