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Cours : Première générale > Chapitre 12 

Leçon 2: Evénements indépendants
Mathématiques
Première générale
Probabilités et statistiques - Probabilité conditionnelle et indépendance
Evénements indépendants
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Probabilité d'obtenir "au moins un" succès

Google Classroom

Exemple 1 : Puces électroniques défectueuses

Une usine produit en grande quantité des puces électroniques dont, en moyenne, 2% sont défectueuses.
Le contrôleur qualité de l'usine prélève aléatoirement dans cette production 4 puces.
On admet que les tirages des puces sont indépendants. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une puce défectueuse ?
Nous allons résoudre ce problème en plusieurs étapes.
Exemple 1: Exercice A
On choisit une puce au hasard. On appelle A l'événement "la puce n'est PAS défectueuse". Calculer la probabilité de A.
P(puce défectueuse)=P(B)=0,02. B étant l'événement contraire de A.
P(puce non défectueuse)=P(A)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exemple 1: Exercice B
On choisit quatre puces au hasard. Calculer la probabilité de l'événement "les 4 puces ne sont PAS défectueuses".
Arrondir la réponse au millième.
P(les 4 puces ne sont PAS défectueuses)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exemple 1: Exercice C
On choisit quatre puces au hasard. Calculer la probabilité de l'événement "au moins une des puces est défectueuse".
Arrondir la réponse au millième.
P(au moins une puce est défectueuse)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exemple 2 : Implants chirurgicaux

La chirurgie implantaire est une branche de la chirurgie consistant à poser des implants qui peuvent être parfois rejetés par le corps humain. Dans un service de chirurgie implantaire, le taux de rejet est de 11%. Le reste des patients accepte l'implant.
On admet que les résultats pour chaque patient sont indépendants.
Exemple 2
Dans un échantillon aléatoire de 8 patients de ce service, calculer la probabilité de l'événement "au moins un des patients rejette l'implant".
Arrondir la réponse au millième.
P(au moins un patient rejette l’implant)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exemple 3 : Lancers francs

Esther est basketteuse, elle réussit 75% de ses lancers francs. On admet que le résultat d'un lancer franc est indépendant du résultat du lancer franc précédent.
Exemple 3
Si Esther s'apprête à faire 3 lancers francs, calculer la probabilité de l'événement "elle rate au moins un lancer franc".
Arrondir la réponse au millième.
P(elle rate au moins un lancer franc)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Généralisation

Lorsqu'on répète une épreuve de Bernoulli, et que l'on cherche la probabilité d'obtenir au moins un succès :
P(obtenir au moins 1 succès)=1−P(obtenir que des échecs)
ou,
P(obtenir au moins 1 échec)=1−P(obtenir que des succès)

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Daesvinor
    Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de Daesvinor «Comment généralise-t-on p ... »
    Comment généralise-t-on pour plus que "au moins 1" ?
    Je prends l'exemple des implants : comment peut-on calculer la probabilité que "au moins 3 patients sur 8 rejettent l'implant" ?
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mgdenizet
      Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «"Au moins 3 patients sur ... »
      "Au moins 3 patients sur 8 rejettent l'implant" signifie que "3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 patients rejettent l'implant".
      Dans ce cas aussi il est plus rapide de calculer la probabilité de l'événement contraire.
      Si A est l'événement "au moins 3 patients sur 8 rejettent l'implant", l'événement contraire Ā est "0 patient rejette l'implant OU 1 patient rejette l'implant OU 2 patients rejettent l'implant".
      p(Ā) = p(0 patient rejette l'implant) + p(1 patient rejette l'implant) + p(2 patients rejettent l'implant)
      Connaissant p(Ā), on en déduit p(A) en appliquant la formule P(A) = 1 - p(Ā).
      (4 votes)
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