Probabilité conditionnelle - Exemple 2

alors on va faire un autre problème avec des probabilités conditionnelles alors celui ci s'est on a un sac qui contient quatre pièces dont trois sont truquées la quatrième ne l'est pas chaque pièce truquée une probabilité de 45% de retomber du côté pile lorsqu on la lance bon ça veut dire qu'elle a aussi 55 % de chances de retomber du côté face et puis on prélève au hasard une pièce dans le sac et on la lance quatre fois de suite et ce qu'on nous demande c'est de calculer la probabilité d'obtenir quatre fois face quatre fois face on la lance quatre fois de suite c'est ça qui est important donc en fait dans l'appart dans le dans le jeu il ya deux parties est d'abord on choisit on prélève la pièce au hasard et ensuite on la lance quatre fois de suite alors bon on va représenter ces deux parties du jeu d'abord ce qu'on doit faire c'est représenter ce qui se passe quand on choisit la pièce au hasard dans le sac donc quand je mets là la main dans le sac pour choisir une pièce j'ai deux possibilités soit la pièce que j'ai choisie est truqué donc c'est ce que j'exprime comme ça soit c'est une pièce non truquées ça c'est la deuxième possibilité alors je peux déjà tout de suite dire quelles sont les probabilités de choisir une pièce truqués ou une pièce mon truc et alors comme il ya trois pièces truqués parmi les quatre la probabilité d'avoir prélevé une pièce truqué c'est trois quarts voilà et puis comme il ya une pièce non truquées sur les quatre j'ai une chance sur quatre de choisir une pièce mon truc et donc la probabilité ici de cette branche c1 car voilà alors ensuite parce qu'il faut représenter c'est le les quatre lancers donc normalement il faudrait que je fasse plusieurs branches mais là je vais faire europe je vais représenter uniquement celle qui nous intéresse c'est à dire celle où on a face face face quatre fois face de suite alors l'événement que j'ai représenté ici hein c'est la probabilité d'avoir obtenu quatre fois de suite face sachant que j'ai d'abord choisi une pièce truqués puis je peux faire la même chose ici je vais représenter ici l'événement je lance quatre fois la pièce et elle retombe quatre fois du côté face sachant que j'avais prélevées au départ une pièce non truquées la pièce notre quai puisqu'un a qu'une alors du coup je vais maintenant s calculer les probabilités de ces événements-là donc ici la probabilité d'avoir obtenu quatre fois face sachant que la pièce était truqué alors à chaque fois que je lance cette pièce truqués j'ai 45 % de chances qu'elle retombe du côté pile alors s'il faut pas se tromper parce que l'énoncé nous donne les la probabilité de qu'elle retombe du côté pile et ce qu'on veut nous c'est qu'elle retombe du côté face donc il faut faire attention donc je vais l'écrire ici j'ai 45 % de chances qu'elle retombe du côté face le pil pardon justement c'est là où il faut faire attention et puis je vais l'écrire comme ça 55% deux faces du côté ken de chances qu'elle retombe du côté face alors du coup on peut calculer la probabilité de cette de cet événement là donc l'événement elle retombe du côté face quatre fois de suite sachant que la pièce était truqué ce que j'écris comme ça eh bien ça on va pouvoir l'exprimer puisqu'à chaque fois que je la lance il ya 55 % de chances qu'elle tombe du côté face donc finalement la probabilité de cet événement là c'est zéro virgule ses 55 % x 55 % x 55 x 100 x 55 % ce que je vais écrire comme ça 01 55 x 0.55 fois 0,55 et fois 0.55 ça c'est parce que les quatre lancers sont indépendants les uns des autres et à chaque fois j'ai 55 % de chances qu'elle tombe du côté face donc voilà ça c'est une chose et puis maintenant ce qu'on peut faire à partir de ces de ces données-là de ce qu'on vient de calculer on peut trouver la probabilité d'avoir choisi une pièce truqués et d'avoir obtenu quatre fois face quand on la lance quatre fois de suite cette probabilité je vais pouvoir l'écrire comme ça donc je vais je vais l'écrire de cette manière là la probabilité d'avoir choisi une pièce truqués et d'avoir obtenu face face face face et bien ça c'est la probabilité d'avoir obtenir une pièce truqué c'est à dire trois quarts fois la probabilité d'avoir obtenu quatre fois face sachant que la pièce était truqué c'est à dire 0,1 l'écrire avec les couleurs avec la bonne couleur 0,55 alors je vais l'écrire plus simplement 0,55 enfin ce produit-là 08 55 x 0,55 fois 08 55 x 0.55 on peut l'écrire comme ça c'est 0.55 puissance 4 donc ça c'est la probabilité en fait de toute cette branche là je peux le je vais là datera c'est comme ça c'est la probabilité de cette branche là voilà alors maintenant je vais m'occuper de la deuxième branche je vais d'abord calculer la probabilité d'avoir obtenu ces cette probabilité la probabilité d'avoir obtenu face quatre fois de suite sachant que on avait une pièce non truquées alors ça comme la pièce n'est pas truquée et que les quatre les quatre lancers sont indépendants à chaque fois j'ai une chance sur deux donc une probabilité de 0.5 que la pièce tombe du côté face donc cette probabilité là la probabilité dehors d'obtenir quatre fois face ça chante la pièce n'est pas truquée ça va être 0.5 x 0,5 fois 0.5 x 0,5 0,5 à chaque lancer alors du coup comme tout à l'heure je vais pouvoir trouver la probabilité de toute cette branche là c'est à dire la probabilité de choisir une pièce non truquées et d'obtenir quatre fois face de suite voilà et saab on peut le calculer tout de suite c'est la probabilité d'obtenir de choisir une pièce l'autre quai c'est à dire un quart x la probabilité d'obtenir quatre fois de suite sachant qu'on a eu une pièce non truquée donc c'est cette c'est ce produit là donc je vais l'écrire comme tout à l'heure de manière un peu plus simple c'est 0.5 puissance 4 voilà alors maintenant je vais prendre la calculatrice pour calculer toutes ces probabilités alors alors je vais d'abord calculé cette probabilité là c'est à dire que la probabilité que la pièce soit truquée et qu'on obtienne phase quatre fois de suite donc on a dit que c'était trois quarts donc ça 0.75 ses trois-quarts x 0,55 puissance 4 voilà et ça nous donne cette ce nombre là qu'on va on dire mais c'est zéro 0686 donc c'est environ 6 9 % 1 alors maintenant je vais calculé tout de suite la probabilité que la pièce soit non truquées et qu'on est quatre fois de suite face donc c'est cette probabilité là alors incarcéré 0,25 x 0,5 puissance 4 et ça ça nous donne 0 0 1 5 6 2 5 toute façon je vais arrondir tout ça mais là ce que je vais faire je vais déplacer la calculatrice pour écrire les nombres donc la fais moi confiance je recopie juste c'est les résultats des calculs que je viens de ferme donc d'abord la probabilité d'avoir choisi une pièce truqués et obtenu quatre fois de suite face alors je recopie c'est 0,06 8,6 de 9 de 9 6 8 7 5 01 je vérifie 0,06 8,6 de 9 6 8 7 5 c'est ça et puis la probabilité d'avoir choisi une pièce mon truc et et d'obtenir et obtenu quatre fois de suite face c'est 0,01 5 6 2 5 5 6 2 5 voilà maintenant évidemment ce qu'on veut nous c'est la probabilité d'avoir obtenu quatre fois face indépendamment du fait qu'on ait choisi une pièce truqués ou non truquées c'est à dire que finalement la probabilité qu'on cherche c'est la somme des 2 probabilité que je viens de calculer puisqu'on peut obtenir quatre fois face soit en ayant choisi une pièce truqués soir en ayant choisi une pièce non truquées donc finalement la probabilité que je cherche c'est la probabilité d'obtenir quatre fois face je vais décrire comme ça c'est la probabilité d'avoir choisi une pièce truqués et obtenu face à face face quatre fois face c'est cette probabilité la plus la probabilité d'avoir choisi une pièce non truquées non truquées et d'avoir obtenu quatre fois face c'est cette probabilité la voilà alors maintenant donc il faut que je fasse la somme de ces deux noms dont je vais faire avec la calculatrice évidemment pas m'amuser de la le faire comme ça de tête donc il faut que je fasse la somme de ces deux nombre pourrait le faire en utilisant les réponses antérieures aimons jouer je vais là je vais recopier l'opération 1 donc j'ai d'abord 0,06 186 29 ans celui-là 29 68 75 68 75 006 8,6 de 9 6 8 7 5 c'est ça plus le deuxième qui est zéro toute façon je vais arrondir donc c'est pas très important au fait d'être si précis mais bon je préfère le faire comme ça 0,015 625 voilà alors ça me donne ce nombre 0084 2,5 bon je vais arrondir aux dix millième s'adonne 0,08 4 2 5 et j'arrondis aux dix millième là ça suffit je vais mettre ça sous forme de pourcentage ça fait 8,4 125% bon ça c'est c'est des valeurs approximatives un cd des valeurs approcher donc là je vais arrondir encore un peu plus ses 8 43% voilà donc ce nombre huit points 43% c'est la probabilité d'obtenir quatre fois de suite face alors bon on peut quand même remarquer que si haut si on avait eu que des pièces non truquées la probabilité sera un peu plus faible parce qu'effectivement là on a on a beaucoup tourné à trois chances sur quatre de choisir une pièce truqués et à chaque fois qu'on lance cette pièce truc et on a plus de champ obtenir face donc c'est assez logique d'obtenir une probabilité plus grande que si on avait lancé quatre fois de suite pièces non truquées