Des situations concrètes modélisée par des fonctions paires

La question traitée ici est "Comment traduire en termes concrets la parité d'une fonction qui modélise une situation ?"

D'abord un rappel sur la parité d'une fonction.

Voici un premier exemple.

Quand on étire ou comprime un ressort, à chacune des valeurs de la différence $x$x, en mètres, entre sa nouvelle longueur et sa longueur initiale correspond une certaine valeur de l'énergie $E(x)$E, left parenthesis, x, right parenthesis, en joules, qu'il emmagasine. Si on étire le ressort, $x$x est positif, et si on le comprime, $x$x est négatif. On donne la courbe représentative de la fonction $E$E.

Que peut-on en déduire ?

La fonction $E$E est-elle paire, impaire, ou ni paire, ni impaire ?

La courbe représentative de la fonction $E$E est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Donc $E$E est une fonction paire. Ce qui signifie que, pour tout $x$x, $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis.

Comment interpréter le fait que “Pour tout $x$x, $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis” ?

Pour tout $x$x, $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis donc cette égalité est vraie si $x=2$x, equals, 2, $x=4$x, equals, 4, $x=10$x, equals, 10, etc.

Si on remplace $x$x par $2$2 on obtient l'égalité $E(-2)=E(2)$E, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, 2, right parenthesis. Et alors ?

On se reporte à la définition de la fonction $E$E. $E(x)$E, left parenthesis, x, right parenthesis représente l'énergie emmagasinée par un certain ressort quand on l'étire ou quand on le comprime. Si $x$x est positif c'est qu'on l'a étiré et si $x$x est négatif c'est qu'on l'a comprimé.

Donc $\purpleC{E}(\greenD{-2})=\purpleC{E}(\goldD{2})$start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, right parenthesis, equals, start color #aa87ff, E, end color #aa87ff, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis signifie que si ce ressort est $\greenD{\text{comprimé de } 2 \text{ m}}$start color #1fab54, start text, c, o, m, p, r, i, m, e, with, \', on top, space, d, e, space, end text, 2, start text, space, m, end text, end color #1fab54, il emmagasine la même $\purpleC{\text{ énergie}}$start color #aa87ff, start text, space, e, with, \', on top, n, e, r, g, i, e, end text, end color #aa87ff que s'il est $\goldD{\text{étiré de } 2 \text{ m}}$start color #e07d10, start text, e, with, \', on top, t, i, r, e, with, \', on top, space, d, e, space, end text, 2, start text, space, m, end text, end color #e07d10.

De façon générale, que peut-on déduire de la proposition "Pour tout $x$x, $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis" ?

Pour tout $x$x, $E(-x)=E(x)$E, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, E, left parenthesis, x, right parenthesis, donc l'énergie emmagasinée par le ressort quand on le comprime de $x$x mètres est la même que l'énergie emmagasinée quand on l'étire de $x$x mètres.

Ou encore : Quand on comprime ce ressort d'une certaine longueur, il emmagasine la même quantité d'énergie que quand on l'étire de la même longueur.

On étudie un autre exemple.

Paloma a une chaudière à bois. La consommation quotidienne de la chaudière correspondant à la température de $25$25 degrés dans la maison est de $20$20 kg de bois. Elle a expérimenté comment la diminution ou l'augmentation de cette quantité de bois influait sur la température de la maison. $T$T est la fonction qui à la variation $w$w de la quantité de bois utilisée fait correspondre la variation de la température dans la maison. $w$w est positif si elle augmente la quantité de bois, et $w$w est négatif si elle la diminue. On donne la courbe représentative de la fonction $T$T.

La courbe représentative de la fonction $T$T est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Donc $T$T est une fonction impaire. Ce qui signifie que, pour tout $p$p, $T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis.

Il faut traduire en termes concrets la proposition “Pour tout $w$w, $T(-w)=-T(w)$T, left parenthesis, minus, w, right parenthesis, equals, minus, T, left parenthesis, w, right parenthesis”.

Comme dans l'exemple précédent on donne une valeur particulière à $w$w. Par exemple $w=1$w, equals, 1

A la variation $w$w de la quantité de bois utilisée correspond par cette fonction la variation $T$T de la température de la maison. Si $w$w est positif, cette variation est une augmentation et s'il est négatif, c'est une diminution.

Donc, $\blueC{T}(\maroonC{-1})=-{\blueC T}(\purpleD{1})$start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #ed5fa6, minus, 1, end color #ed5fa6, right parenthesis, equals, minus, start color #63d9ea, T, end color #63d9ea, left parenthesis, start color #7854ab, 1, end color #7854ab, right parenthesis signifie que la $\blueC{\text{variation de température }}$start color #63d9ea, start text, v, a, r, i, a, t, i, o, n, space, d, e, space, t, e, m, p, e, with, \', on top, r, a, t, u, r, e, space, end text, end color #63d9ea qui résulte de l'utilisation de $\maroonC{1 \text{ kg de bois de moins}}$start color #ed5fa6, 1, start text, space, k, g, space, d, e, space, b, o, i, s, space, d, e, space, m, o, i, n, s, end text, end color #ed5fa6 est l'opposée de celle qui résulte de l'utilisation de $\purpleD{1 {\text { kg de bois de plus}}}$start color #7854ab, 1, start text, space, k, g, space, d, e, space, b, o, i, s, space, d, e, space, p, l, u, s, end text, end color #7854ab.

Maintenant on généralise.

Ou encore : Augmenter ou diminuer d'une certaine valeur la quantité de bois utilisée aura des effets exactement opposés sur la température de la maison.

De façon générale pour étudier comment traduire concrètement la parité d'une fonction qui modélise une situation, il faut :

$1$1 - Regarder si elle est paire ou impaire.

$2$2 - Préciser ce que représentent concrètement la variable et son image par la fonction.

$3$3 - En déduire une proposition qui met concrètement en regard les valeurs de la fonction correspondant à deux valeurs opposées de la variable.

Fabien apprend à conduire un nouveau type de véhicule. Dans ce véhicule c'est une poignée rotative qui permet d'augmenter la vitesse $V$V, en km/h. $x$x est positif si la poignée a été tournée dans le sens des aiguilles d'une montre, et $x$x est négatif si elle a été tournée dans le sens inverse.

On donne la courbe représentative de la fonction $V$V :