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Cours : Seconde > Chapitre 5

Leçon 7: Somme, différence, produit ou quotient de deux fonctions

Les quatre opérations et les fonctions

Se familiariser avec l’idée que l'on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser deux fonctions pour en définir une nouvelle.

De même que l'on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres, on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser les fonctions.

La somme de deux fonctions

1. Définir la fonction somme de deux fonctions

f

est la fonction telle que

f (x) = x + 1

g

la fonction telle que

g (x) = 2 x

, par définition la fonction somme

f + g

est la fonction telle que

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (x + 1) + (2 x) \\ = x + 1 + 2 x \\ = 3 x + 1 \end{aligned}$ ‍

On appelle

h

cette fonction somme :

$h (x) = (f + g) (x) = f (x) + g (x) = 3 x + 1$ ‍

2. Calculer l'image d'un nombre par une fonction somme

On peut bien sûr calculer la valeur d'une fonction somme pour une valeur particulière de la variable. Par exemple on peut chercher l'image de

2

par la fonction

h

. Il y a deux façons de procéder.

Méthode 1 : On remplace

x

par

2

dans l'expression de la fonction

h

$\begin{aligned} h (x) & = 3 x + 1 \\ h (2) & = 3 \times 2 + 1 = 7 \end{aligned}$ ‍

Méthode 2 : On peut aussi calculer

f (2)

g (2)

et additionner les résultats.

h (x) = f (x) + g (x)

, donc

h (2)

est égal à

f (2) + g (2)

On calcule

f (2)

$\begin{aligned} f (x) & = x + 1 \\ f (2) & = 2 + 1 = 3 \end{aligned}$ ‍

On calcule

g (2)

$\begin{aligned} g (x) & = 2 x \\ g (2) & = 2 \times 2 = 4 \end{aligned}$ ‍

Donc

f (2) + g (2) = 3 + 4 = 7

Les deux méthodes conduisent au même résultat !

A vous !

Dans les deux exercices suivants,

f (x) = 3 x + 2

g (x) = x - 3

Exercice 1

L'expression de $(f + g) (x)$ ‍ est :

Exercice 2

$(f + g) (- 1)$ ‍, c'est-à-dire l'image de $- 1$ ‍ par la fonction $f + g$ ‍ est :

Voici deux façons de faire ce calcul.

Méthode 1: On calcule

f (- 1)

g (- 1)

et on additionne les résultats.

On calcule

f (- 1)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ f (- 1) & = 3 \times (- 1) + 2 = - 1 \end{aligned}$ ‍

On calcule

g (- 1)

$\begin{aligned} g (x) & = x - 3 \\ g (- 1) & = - 1 - 3 = - 4 \end{aligned}$ ‍

Donc

f (- 1) + g (- 1) = - 1 + (- 4) = - 5

Méthode 2 : On établit l'expression de

(f + g) (x)

puis on calcule

(f + g) (- 1)

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (3 x + 2) + (x - 3) \\ = 3 x + 2 + x - 3 \\ = 4 x - 1 \end{aligned}$ ‍

Et si

x = - 1

, alors

4 \times (- 1) - 1 = - 5

Qu'en est-il des courbes représentatives des fonctions ?

Ci-dessous les droites représentatives des fonctions affines

m

n

On lit sur les graphiques que

m (4) = 2

n (4) = 5

Voici la droite représentative de la fonction somme

p = m + n

. On lit que

p (4) = 2 + 5 = 7

Vous pouvez vérifier en lisant les graphiques que pour tout

x

p (x) = m (x) + n (x)

A vous !

Exercice 3

Ci dessous les courbes représentatives des fonctions

f

g

Une valeur approchée de $f (3) + g (3)$ ‍ est ...

Et les trois autres opérations ?

Jusqu'ici nous n'avons traité que des fonctions sommes, mais on peut aussi définir la différence, le produit ou le quotient de deux fonctions.

Par exemple si

f

g

sont les fonctions telles que

f (x) = x + 3

g (x) = x - 2

, on peut définir la fonction somme

f + g

, mais aussi...,

...la fonction différence

\begin{aligned} (f - g) (x) = f (x) - g (x) & = (x + 3) - (x - 2) \\ = x + 3 - x + 2 on a retiré les parenthèses \\ = 5 on a réduit les termes semblables \end{aligned}

...la fonction produit

\begin{aligned} (f g) (x) = f (x) \times g (x) & = (x + 3) (x - 2) \\ = x^{2} - 2 x + 3 x - 6 on a développé \\ = x^{2} + x - 6 on a réduit les termes semblables \end{aligned}

...et la fonction quotient.

\begin{aligned} (f \div g) (x) & = \frac{f (x)}{g (x)} \\ = \frac{(x + 3)}{(x - 2)} \end{aligned}

Et on a créé trois nouvelles fonctions !

Un dernier exercice

p (t) = t + 2

q (t) = t - 1

r (t) = t

Calculer $p (3) \times q (3) \times r (3) - p (3)$ ‍.

On calcule d'abord

p (3)

q (3)

r (3)

en remplaçant

t

par

3

dans les expressions des fonctions.

On calcule

p (3)

$\begin{aligned} p (t) & = t + 2 \\ p (3) & = 3 + 2 = 5 \end{aligned}$ ‍

On calcule

q (3)

$\begin{aligned} q (t) & = t - 1 \\ q (3) & = 3 - 1 = 2 \end{aligned}$ ‍

On calcule

r (3)

$\begin{aligned} r (t) & = t \\ r (3) & = 3 = 3 \end{aligned}$ ‍

p (3) \times q (3) \times r (3) - p (3)

est donc égal à :

\begin{aligned} p (3) \times q (3) \times r (3) - p (3) & = 5 \times 2 \times 3 - 5 \\ = 30 - 5 \\ = 25 \end{aligned}

On aurait pu aussi établir l'expression de

p (t) \times q (t) \times r (t) - p (t)

puis calculer la valeur de la fonction pour

t = 3

. Mais on aurait obtenu une fonction polynôme de degré

3

donc les calculs auraient été plus compliqués.

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Dea Boa
Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de Dea Boa «30 - 5 = 25 et pas 5 je c ... »
30 - 5 = 25 et pas 5 je crois qu'il y a une erreur dans le dernier exercise
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Réponse
ahmed bello
Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de ahmed bello «et qu°en est il des fonc ... »
et qu°en est il des fonctions homographique
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- christophe.marti
  Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de christophe.marti «Cette partie est une appr ... »
  Cette partie est une approche intuitive mais c'est le même principe, non ?
  J'imagine que dans une approche plus formel nous allons devoir définir au préalable l'ensemble de définition de la fonction final. Et dans le cas de fonction homographique, nous trouverons des valeurs infinies aux alentour des axes (si j'ai compris ce qu'est une fonction homographique...) donc on évitera de calculer f(0)/g(0)...
  Merci pour la question :-)
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logon313
Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de logon313 «Quelques champs d'entrée ... »
Quelques champs d'entrée de textes ne sont pas fonctionnels sur l'exercice 2 et le dernier exercice (ils s'affichent différemment et à la validation, le message suivant s'affiche : Nous n'avons pas pu évaluer votre réponse. Impossible de comprendre votre réponse. Vérifiez ce que vous avez écrit.)
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- mgdenizet
  Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «Effectivement, on ne sait ... »
  Effectivement, on ne sait pas sous quelle forme on doit écrire la réponse. Je vais rédiger les questions autrement.
  Merci à vous pour ce signalement.
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Olivier
Posté il y a il y a 3 jours. Lien direct vers le message de Olivier «Bonjour. Au point 2, exer ... »
Bonjour. Au point 2, exercice 3, il est noté que la valeur de f(3)=6. Le résultat n'est-il pas supposé montrer la variation de la valeur de y par rapport à celle de x, ce qui donnerait f(3)=9?
Bien à vous,
O.L.
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