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Contenu principal

Conversion de composantes d'un vecteur : cartésiennes à polaires et vice-versa.

On revoit la norme et l'angle polaire d'un vecteur et comment passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes et inversement.

Aide-mémoire

Norme d'un vecteur à partir de ses composantes

La norme du vecteur de composantes u(a ;b) est a2+b2.

Angle polaire d'un vecteur de composantes données

Si u=OM et si M est dans le 1er quadrant, l'angle polaire du vecteur u(a ;b) est θ=tan1(ba). Dans les autres cas, il faut ajouter soit 180°, soit 360°, à tan1(b/a).
QuadrantAngle polaire
Q1tan1(ba)
Q2tan1(ba)+180°
Q3tan1(ba)+180°
Q4tan1(ba)+360°

Passer des composantes polaires aux composantes cartésiennes

Les composantes (cartésiennes) du vecteur de norme ||u|| et d'angle polaire θ sont (||u||cos(θ) ;||u||sin(θ)).

Les composantes polaires

Rappel : Dans un repère d'origine O, si M(a ;b) est le point tel que u=OM, alors le couple de composantes du vecteur u est le couple (a ;b).
Le vecteur u peut aussi être défini par sa norme et son angle polaire :
Le plan étant muni du repère (O ;i ;j), si u=OM, la norme du vecteur u est la longueur OM, et son angle polaire est l'angle orienté (i ;OM).
La norme du vecteur u est notée ||u||.
Pour en savoir plus sur la norme d'un vecteur, voir cette vidéo.
Pour en savoir plus sur l'angle polaire, voir cette vidéo.

1 : Norme d'un vecteur de composantes données

Le théorème de Pythagore permet d'établir que si le vecteur u a pour composantes (a ;b), alors
||u||=a2+b2
Par exemple, la norme du vecteur (3 ;4) est 32+42=25=5.
Exercice 1.1
Quelle est la norme du vecteur u (1 ;7) ?
||u||=

On demande soit sa valeur exacte, soit sa valeur approchée arrondie au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 : Angle polaire d'un vecteur de composantes données

Pour calculer la mesure de l'angle polaire on utilise la fonction arctangente. Mais il ne faut pas oublier que quel que soit θ, tan(θ+k×180°)=tan θ et que la fonction arctangente renvoie celle de ces mesures qui est comprise entre 90° et 90° (ou entre π/2 et π/2). Il faut donc parfois ajouter soit 180° (ou π), soit 360° (ou 2π) à la valeur de la fonction arctangente obtenue.
θ=arctan(ba)
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.

Exemple 1 : M est dans le Quadrant I

La mesure de l'angle polaire du vecteur de composantes (3 ;4) est :
arctan(43)53

Exemple 2 : M est dans le Quadrant IV

A la calculatrice, on obtient :
arctan(43)53
Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute 360 :
53+360=307

Exemple 3 : M est dans le Quadrant II

A la calculatrice, on obtient :
arctan(43)53
Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute 180.
53+180=127
Exercice 2.1
Quel est l'angle polaire du vecteur u (5 ;8) ?
θ=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

La réponse doit être comprise entre 0 et 360, et arrondie au centième.

Pour vous entraîner, faites ces exercices.

Passer de la norme et de l'angle aux composantes

Le couple de composantes du vecteur u dont la norme est ||u|| et dont une mesure de l'angle polaire est θ est :
(||u||cos(θ) ;||u||sin(θ))
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
Ainsi, le couple de composantes du vecteur de norme 2, dont une mesure de l'angle polaire est 30 est :
(2cos(30) ;2sin(30))=(3 ;1)
Exercice 3.1
u( 
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
 ;
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
)
On demande des valeurs approchées arrondies au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Andrée-Anne Lavoie
    à l'exercise 2.3 pourquoi la réponse utilise des données différentes de celles données au problème? (-10, 7) la solution devient : arctan(-9/-10)
    (4 votes)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
  • piceratops tree style l'avatar de l’utilisateur ASSILEM666
    Bonjour
    Je ne trouve jamais les mêmes résultats avec ma calculatrice je ne comprends pas comment ça se fait si quelqu'un sait m'aide. C'est une TI 82
    Par exemple pour le dernier exercice 12cos(20°) vous trouvez 11.28 et moi je trouve 4.9 et pour le sinus je trouve 10.96 au lieu de 4.1.
    Pareil pour la fonction arctan je trouve des -0.7 quand vous trouvez -34
    D'avance merci
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      Bonjour,
      Ta calculatrice utilise les radians comme mesure d'angles, au lieu des degrés.
      Le radian est une unité de mesure d'angles que tu rencontreras plus tard.
      Quand on travaille avec des fonctions trigonométriques, il faut toujours vérifier ce réglage.
      Pour régler le problème, il faut utiliser la touche "mode" et sélectionner "Degrees" au lieu de "Radians"
      (1 vote)
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