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Passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes

Transcription de la vidéo

bonjour alors ici on te donne des vecteurs en fait on donne l'angle que fait un vecteur par rapport à l'axé des abscisses par rapport à l' axe horizontal et puis la norme de ce vecteur donc ici on a un vecteur qui représente un rouge de normes 4 qui fait un angle de 50 degrés avec l' axe des abscisses orienté et dans cette vidéo ce qu'on va essayer de faire c'est de déterminer les coordonnées de ce vecteur autrement dit les coordonnées du de cette extrémité la du vecteur si tu préfères ou bien encore la composante horizontale de ce vecteur est la composante verticale de ce vecteur voilà alors comme d'habitude le mieux c'est que tu essayes de son côté et qu'on se retrouve une fois que tu as réfléchi et peut-être trouvé la solution donc ici ce qu'on doit faire c'est déterminé on va le voir comme ça pour l'instant la composante horizontale alors je vais la faire plutôt en bleu la composante horizontale de ce vecteur qui est donc un vecteur horizontale comme ça d'une certaine longueur qui est sa norme et puis la composante verticale de ce vecteur qui est donc un vecteur verticale d'une certaine longueur et où ce qui est remarquable c'est que quand on some ce vecteur là et ce vecteur là eh bien on retrouve notre vecteur de longueur 4 et d'angles 50 degrés avec l'axé des abscisses alors ça c'est très important parce que en fait ce qu'on a ici c'est un triangle rectangle alors je vais le codé ça ici on a un angle droit et donc en fait on peut utiliser les relations trigonométriques et donc les fonctions trigonométriques qu'on connaît qui sont valables dans un triangle rectangle alors évidemment ce dont il faut se souvenir c'est on a un moyen mnémotechnique qui est ce au cas toa sinus c'est le côté opposé sur l'hypoténuse le cosinus et le côté adjacent sur l'hypoténuse et la tangente c'est le côté opposé sur le côté adjacent alors du coup ici on va pouvoir repérer dans quels cas on met si on veut par exemple déterminer cette composante horizontal et bien en fait c'est le côté adjacent à l'angle de 50 degrés et puis le côté de longueur 4 ici le nôtre vecteur d'origine et bien c'est l'hypoténuse de notre triangle rectangle donc nous on est dans ce cas là on a le côté adjacents et l'hypothénuse alors sept longueurs là je vais l'appeler x est ce qu'on peut déduire de ce qu'on vient de dire c'est que le cosinus de 50 degrés et bien c'est le côté adjacent donc x / l'hypothénuse donc 4 et ça ça veut dire que avec un petit peu d'algèbre en multipliant par quatre des deux côtés ça veut dire que x est égal à 4 fois caussinus de 50 degrés un nombre qu'on peut calculer on peut le faire si tu veux je vais prendre la calculatrice donc il faut que je prenne le cosinus de 50° 50 degrés je pense on caussinus et je multiplie par quatre et ça me donne environ 2,57 donc ici je trouve que x est environ égal à 2,57 c'est en fait la longueur de la composante la norme de la composante horizontale de notre vecteur si tu préfères ou bien c'est aussi l'abscisse de ce point là donc l'abscisse du vecteur rouge alors maintenant on va trouver son ordonnée et pour trouver sont ordonnés on va utiliser encore ses moyens mnémotechniques alors ici y je vais appeler y la longueur de la composante verticale la norme de la composante verticale est ce que je sais c'est que ici y c'est le côté opposé à l'angle de 50 degrés et 4 c l'hypoténuse du triangle rectangle donc là on est dans ce cas là il faut prendre le sinus qui est le côté opposé sur l'hypothénuse donc ça nous dit que le sinus de 50 degrés est égal à y sur quatre est donc comme tout à l'heure on en déduit que y est égal à 4 fois sinus de 50 degrés alors je vais prendre la calculatrice pour le calculer alors 50 degrés je calcule sans sinus ça me donne 0,7 166 et je multiplie par quatre et ça donne 3,06 on va dire donc ça y est environ égal à 3,06 voilà donc les coordonnées de mon vecteurs ou les coordonnées de ce point ici si tu préfères eh bien je les aient déterminé c'est son abscisses et 2,57 et sont ordonnés c'est 3,06 alors ce qui est intéressant c'est de faire le parallèle avec le cercle trigonométriques dont on se sert très facilement et très souvent alors je vais le dessiner ici c'est un cercle de rayons un donc c'est ce cercle qui est ici faites ce vecteur ici voilà qui est un vecteur de normes gala un vecteur unitaire et qui a la même direction que notre vecteur de longueur 4 et le cosinus de notre angle de 50 degrés et bien c'est cette distance ici et le sinus de langue de 50 degrés c'est cette distance là voilà ça c'est le sinus de 50 degrés et ça c'est le cosinus de 50 degrés et tu vois quand fait est bien nous ce qu'on a fait c'est x 4 et c'est tout à fait cohérent même le configuration de thales si tu veux la longueur de mon vecteur est multiplié par 4 donc et un rapport de 4 entre sept longueurs là et la longueur totale et ce rapport de 4 on le retrouve dans le sinus ici donc sinus sept longueurs là et sept longueurs lac et du coup multiplié par 4 et la même chose pour les coller les composantes horizontale alors maintenant on va s'occuper de ce deuxième cas de ce deuxième vecteur qui est tracée ici est donc ce qui est intéressant si c'est qu'en fait le vecteur il est dans il est situé dans le 2ème cadran ça veut dire que son abscisse va être négative et sont ordonnés va être positive puisqu'on est dans ce cadre en la x est négatif et y est positif bon ça c'est une indication utile de toute façon est ce qu'on va faire c'est on pourrait faire exactement comme tout à l'heure c'est à dire dire que ce vecteur l'aa pour abscisse dix fois caussinus de l'angle donc dix fois caussinus 135 ça c'est son app 6 et puis sont ordonnés ça serait y égale dix fois sinus 135 ça c'est vraiment calqué sur ce qu'on a fait tout à l'heure pour l'abc son prend la norme donc égale à 10 x le cosinus de l'angle que fait le vecteur avec l' axe des abscisses lax orienter des abscisses et pour leur donner on prend la norme x le sinus de cet angle donc c'est exactement comme tout à l'heure et ça ça nous donne effectivement les coordonnées de ce point qui est ici 1 2 les coordonnées de notre vecteur si tu préfères qui est donc le vecteur de coordonner dix fois caussinus 130 5 et 10 fois sinus 135 voilà alors je vais prendre la calculatrice pour le calcul et comme tout à l'heure donc je calcule le cosinus de l'angle de 135 ça fait moins 0,7 107 ensuite doit multiplier par dix donc je vais avoir environ - 0 - 7,07 ça c'est son abscisse pardon j'ai 10 07 et j'ai écrit 0,2 voilà et puis pour leur donner alors tu vas voir que ça va être à peu près la même chose je vais prendre le sinus de l'angle de 135 degrés et je trouve 0 1 707 aussi à peu près quand je multiplie par dix a fait environ 7,07 alors comme tout à l'heure on peut regarder ce qui se passe si on utilise le cercle trigonométriques donc je vais le dessiner c'est donc un cercle de rayon 1 voilà mais en fait ce point qui est ici donc on a un vecteur en fait ici de normes égal à 1 et l'abscisse de ce vecteur l'abscisse de ce vecteur ses sept longueurs ici donc c'est caussinus 235 et laure données de ce vecteur c'est donc cette distance là qui est le sinus de 135 degrés voilà donc effectivement ensuite on multiplie tout par dix et c'est pour ça qu'on retrouve cette expression là qui est tout à fait du coup cohérente alors maintenant je voudrais qu'on regarde une autre façon de faire en fait en utilisant un triangle rectangle parce que je cherche comme tout à l'heure à décomposer bon vecteur qui est ici en une composante verticale est une composante horizontale alors la composante horizontale je vais la dessiner comme ça voilà c'est donc un vecteur horizontal qui va être orientés vers la gauche et puis une composante verticale qui est celle là voilà et tu vois que là on se retrouve comme tout à l'heure avec un triangle rectangle et dans ce triangle l'angle qui est ici et bien c'est un angle de 45 degrés puisque ses 180 degrés d'angle pl - 135 degrés donc ça fait 45 degrés alors dans ce triangle rectangle ici là l'hypothénuse c'est notre vecteur d'origine et la composante horizontal et bien c'est le côté adjacent à l' angle de 45 degrés donc ce que je vais avoir c'est que la composante verticale elle va être donné par cette relation c'est que le cosinus de 45 degrés eh bien c'est la composante horizontale que j'appelle x / l'hypoténuse donc par dix alors ici j'ai dit x mais il faut le prendre en valeur algébrique donc avec un signe ici c'est négatif donc ce que je vais dire c'est que en fait x est égal à moins 10 fois caussinus de 45 degrés ça c'est pour prendre en compte le fait que la composante horizontal est négative donc je trouve cette relation là et puis pour les la composante verticale que j'appelle y ici qui est donc positive pour le coup et bien c'est le côté opposé à l' angle de 45 degrés donc là je vais utiliser le sinus et je sais que le sinus de 45 degrés eh bien c'est la composante y divisé par dix donc je trouve cette expression là pour la composante verticale qui est 10 fois sinus de 45° bon 45 degrés c'est une valeur remarquable on sait que le cosinus et le sinus de 45 degrés sont tous les deux ego à racine carrée de 2,2 sur deux donc ça je vais l'écrire caussinus de 45 est égal asinus de 45 degrés et c'est égal à racine de 2 sur 2 donc ici pour la composante horizontale gx égal moins dix fois racines de 2 sur 2 c'est à dire moins cinq fois racine carrée de 2 et pour la composante verticale y est bien j'ai dix fois racine carrée de 2 c'est à dire cinq fois racine carrée de 2 voilà est donc là on trouve le même résultat si tu calcules 5 racine carrée de deux tu vas trouver 7,07 mais ici on obtient du coup une valeur exacte des composantes verticale et horizontale