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Le losange ABCD et les cercles circonscrits aux triangles ABD et ACD

Calculer l'aire d'un losange ABCD connaissant les musures des deux rayons des cercles circonscrits aux triangles ABD et ACD. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

donc dans cet exercice on nous demande de calculer l'ère du losange a b c d sachant que le rayon des cercles circonscrit au triangle à bd est assez des mesures respectivement 12 donc on va tracer un losange ici donc un losange qu'est ce que c'est c'est un cadre i la terre qui a les quatre côtés égaux donc on va essayer de tracer sa au mieux ici voilà et avec évidemment les côtés deux à deux parallèles voilà donc ici qu'est ce que j'ai et bien ce côté là est égal à ce côté là ce côté là est égal à se coter à ce côté là est égal à ce côté là et on va appeler donc seul aux anges abcd donc à b c'est et d ici donc ici on aa des parallèles abc on a à b parallèle à des c est ce qu on nous dise qu'on nous dit c'est que le rayon du cercle circonscrit à à bd à bédée donc ici à bd on va le mettre en verre ici pour bien bien le voir donc je leur trace voilà donc voilà à bd et donc le rayon du cercle circonscrit à ab des mesures 12,5 cm ici donc on va essayer de tracer le cercle circonscrit à bd à peu près voilà on va dire que c'est à peu près ça donc le rayon de ce cercle ici va mesurer 12,5 cm donc si je place le centre du cercle qui est donc à peu près ici donc tu te rappelles pour trouver en fait le centre du cercle il suffit juste en fait de tracer les médiatrices ici ce qu'on nous dise et que donc du centre du cercle à chacun des sommets du triangle c'est donc le rayon du cercle et ça ça vaut 12.5 dose 5 voilà donc maintenant on nous dit aussi autre chose on nous dit que on nous parle du triangle a cédé et on nous dit que le rayon du cercle circonscrit au triangle à céder mesure 25 donc on va déjà replacé le triangle à céder donc le triangle ac dc ce triangle ici voilà et on sait que le rayon du cercle circonscrit donc on va essayer de dessiner dessiner ce cercle la voilà quelque chose comme ça donc il est un peu plus grands tubes a donc ici on a le cercle circonscrit du triangle a cédé et donc ce qu'on sait c'est que du centre du cercle qui est à peu près ici jusqu à chacun des sommets c'est donc le rayon du cercle donc cette distance-là du centre ac est identique à la distance du centre à d et dit identique delà du centre aa et cette distance là en rouge mesure 25 ici voilà donc ça fait un peu une figure un peu compliqué mais on va on va y aller étape par étape et tu vas voir que ça va se simplifier et donc tu es venu voir ça dans la dans la vidéo précédente mais on a montré qu'il y avait une relation entre le rayon du cercle circonscrit et l'air du triangle on a vu en fait que le rayon du cercle sicre conscrits à un triangle était égal au produit des longueurs de ce triangle donc les longueurs de ce triangle les appels à baisser divisé par quatre fois l'air en fait du triangle l'ère du triangle ici donc l'air de ce triangle a b c et donc on va voir si cette forme là va nous permettre en fait de récupérer l'air de chacun des triangles à bd est assez aisé et ainsi de nous aider à calculer l'ère du losange anti donc dans un premier temps ce qu'on va faire c'est qu'on va redessiner un losange ici pour essayer d'y voir un peu plus clair donc je redessineront losange a b c d ici voilà et en fait ce que je sais dans un losange c'est que les diagonales du losange se coupent perpendiculairement donc c'est à dire que ici j'ai un angle droit à l'intersection des diagonales voilà et je sais aussi qu'elle se coupe en leur milieu donc on à l'égalité des longues heures suivantes voilà donc ça je te rappel c'est mon parallélogramme a b c d et en fait ce que je vois ici c'est que avec ses diagonales le losange est formé de quatre triangles rectangles et donc si j'appelle le côté ici à du triangle rectangle donc celui qui va de donc ça c'est au béton que c'est lui qui va de aaa au donc ces petits tas et le côté qui va de haut ad je l'appelle petit b et bien l'air en fait d'un des petits triangles ici l'air de ce triangle là ce sera un demi de à x b d'accord et vu que ces triangles l'a donc tous les triangles qui composent le losange sont en fait isométrique ici ou congruent c'est à dire qu'on voit tout de suite qu'ils ont exactement les mêmes longueurs et les mêmes angles ils sont identiques en fait et bien en fait le il est facile d'avoir l'air du losange si on connaît l'air de ce petit triangle donc en fait ici ce qu'on a c'est que air du losange l'ère du losange c'est quatre fois ces quatre fois l'air en fait de ce petit triangle et l'air de ce petit triangle j'ai dit que c'était un demi de ab donc un demi de la base par la hauteur et donc ça ça nous fait et bien 4 / de égal 2 donc de dab est donc en fait il nous suffirait de trouver a et b dans cette figure ici pour avoir l'air du losange donc et bien comment on va trouver la longueur de a et de baies de petite taille de pithiviers et bien on va s'intéresser en fait à cette équation ici que j'ai marqué au début et on voit juste essayer d'appliquer cette équation au triangle à bédée ici que je marque en violet en violet rose et donc air qu'est ce que c'est donc c'est le rayon du cercle circonscrit à ce triangle et d'après l'énoncé et bien je sais que ses 12 points c'est donc ici 12,5 va être égal au produit des longueurs des trois côtés du triangle donc en fait ici j'avais noté que la la distance ici bd et bien c'était petit b plus petit b donc ici ça fait deux types et donc je note deux petits b et je sais que alors la longueur à des par exemple eh bien je sais que adc l'hypoténuse du triangle à od ici et dans ce triangle rectangle là et bien je sais que les deux autres côté mesure à petit a et petit p donc d'après le théorème de pythagore je sais que et bien ad il va être égal à racine racines de akkar et plus becquart est d'accord puisque c'est l'hypothénuse et que donc l'hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés donc en fait si ad est égal à racine de akkar et plus becquart et bien je peux aussi savoir que ab et d'égal racines de akkar et plus becquart écart a baisé cd est un losange et donc on sait que les quatre côté son ego donc j'avais deux béquilles et est égalament à longueur bd ad je sais que c'est égal à racine de akkar et + b carré et ab je sais aussi que c'est égal à racine de akkar et + b carré et donc ça / 4 fois l'ère du triangle à bd alors c'est quoi l'ère du triangle à bd eh bien on avait dit que l'ère du triangle rectangle ici à od c'était un demi de ab et comme en fait le triangle à bo est similaire et même identique en fait au triangle à od et bien l'air du triangle à bdc juste deux fois l'air de à odessa dire ces deux fois un demi de ab donc c'est à dire que c'est ab tout simplement donc ces quatre ici x ab voilà et donc si on essaye de simplifier un petit peu cette écriture et bien qu'est ce qu'on a on à 12,5 qui est égal à ici je peux simplifiée par b 2 / 4 ici ça fait nous fait un demi donc ici je peux simplifiée ba2 donc ici il me restera deux après au dénominateur et racines de akkar et + b kwaje fois racines de akkar et plus becquart et ça nous fait à carrer plus becquart et donc au total j'ai à carrer plus becquart est ici et au dénominateur il me reste donc 2 et voilà donc ça c'est ce que j'ai en regardant le triangle ab dès maintenant ou à faire exactement la même chose en regardant le triangle est bien ici à céder donc c'est à dire ce triangle ici voilà donc pas à faire exactement la même chose et c'est à dire que dans ce triangle à et bien on a donc air qui est égal à 25 d'après les noms c'est donc 25 qui sera égal à au produit donc des longueurs de ce triangle et bien on sait que ici décès de la même manière c'est à carrer plus becquart et puisqu'on est dans le losange donc on sait que à des galas racines drakkar ait plus d'écarts et des segal racing de dakar et + b carré est assez est bien avancé que c'est donc ça c'est à eau et tag ala petit a donc assez est égal à 2 petits as donc 25 est égal à 2 petits à foix racines de akkar et + b carré fois racines de akkar et plus becquart et voilà et ça / 4 fois l'air de ce triangle ici et encore une fois l'air de ac/dc deux fois l'ère du petit triangle rectangle à aude et donc de la même manière ce sera égale ici à ab donc ici nous reste 4 ab donc si on simplifie de la même manière et bien on a 25 qui sera égal à donc ici de ce côté là je simplifie par a donc deux on va pouvoir simplifier au dénominateur ici donc racine de hakkari plus beccari fois racines de akkar et plus beccari ça nous fait à carrer plus b carré et il nous reste au dénominateur donc je simplifie par deux ici donc il nous reste deux ici et il nous reste b donc 25 est égal à akkar et + b carrés sur deux baies et de ce côté là on a 12 5 et et kalaa carré plus b carrés sur deux est donc maintenant si on essaie un petit peu de simplifier encore une fois donc ici qu'est ce que ça nous fait si on multiplie par deux baies de chaque côté et bien on aura 25 x 2 b de ce côté ici et donc 50 b qui va être égal à akkar ait plus d'écarts et et si on fait la même chose de l'autre côté c'est à dire qu'on multiplie par deux à de chaque côté de l'équation eh bien on aura 12 5 x 2 a donc 12,5 x 2 ça nous fait 25 donc on aura 25 ha qui sera égal à akkar et + b carré donc ça c'est très bien parce que ça nous donne deux équations où on allait terme à carrer plus becquart est ici et donc si de ce côté là à carrer plus becquart est égal à 25 ha et que de ce côté là à carrer plus d'écart est égale à 50 b ça veut dire que ça veut dire que donc je vais prendre une autre couleur ici ça veut dire qu'en fait 25 ha est égale à 50 b 50 b donc si j'essaye de résoudre cette équation ici et bien je peux / 25 de chaque côté de l'équation est donc j'aurai à est égale à 50 b / 25 c'est à dire 2 b et donc avec ce résultat ici est bien ce que je peux faire c'est que je peux remplacer a par exemple dans cette équation là ici je peux remplacer à part une expression en b donc remplacé à part deux baies donc ici ça me fait 50 b qui sera égal à non plus à carey mais donc deux baies au carré de bep au carré plus beccari est donc ici ça me fait ça quand b qui va être égal à quatre baies au carré 4b au carré plus b carrés ce qui nous fait 50 b est égal à 5 b au carré est là dans cette équation là et bien ce que je peux faire c'est que je peux / 5 baies de chaque côté donc ça me fera 10 est égal à b donc je sais que b est égal à 10 ici donc maintenant si je sais que des est égal à 10 eh bien je sais que à égal à deux baies donc je sais que a est égal à 2 fois 10 et donc à est égal à 20 et donc ça c'est très intéressant parce que ça nous dit tout de suite que eh bien si je reviens à mon problème qui était de trouver l'air du losange eh bien je savais que l'ère du losange est égal à 2 x ab est donc maintenant je connais je connais a et b donc je sais que l'ère du losange ces 2 x 20 x 10 et donc deux fois 20 ça nous fait quarante 40 x 10 ça nous fait 400 donc ici l'air du losange est égale à 400 voile