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La droite d'Euler - démonstration

Comment démontrer que le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre d'un triangle sont alignés. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

bonjour alors dans cette vidéo on va essayer de démontrer ce qu'on a vu dans l'est dans la vidéo précédente c'est à dire que si on prend un triangle quelconque et bien le centre du cercle circonscrit le centre de gravité et l'horreur au centre du triangle vont être 3 point à ligne est donc là c'est ce que j'ai tracée ici en fait j'aime ici c'est le centre du cercle circonscrit g c'est le centre de gravité du triangle et hc l'or au centre du triangle et donc la droite que j'ai tracée ici c'est ce qu'on avait appelé la droite de l'air qui est la droite qui passe par ces trois points remarquable d'un triangle donc voilà ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est démontré que les points au g et h donc centre du cercle circonscrit centre de gravité et or au centre sont alignés alors sur cette figure tout est tracé les médiatrices qui se coupent au point au centre du cercle circonscrit les médianes qui se coupent au point g qui est le centre de gravité du triangle et les auteurs qui se coupe en cash qui est l'hôte au centre du triangle ceci dit je te conseille de retracer toi-même la figura pour bien se l'approprier c'est ce qu'il ya de mieux à faire alors pour commencer je vais prendre un point d un point dès que je vais en fait définir comme étant le symétrique le symétrique de à par rapport à eau symétrique de à par rapport à eau alors je vais placer ce point d un qui est assez facile à placer si je prends en fait je vais tracer un diamètre qui passent pas à un des maîtres du cercle se circonscrit voilà donc de cette manière là le point que j'ai ici c'est effectivement le point d symétrique de à par rapport à eau c'est le point diamétralement opposées sur le cercle circonscrit au triangle donc le cercle de centre euros alors maintenant ce point d l'a fait apparaître deux triangles triangle rejet ce triangle a à b d epuis le triangle aussi si je trace est ce côté là j'ai le triangle à céder donc à bd et ac/dc deux triangles et en fait ce sont deux triangles qui sont inscrits dans un cercle et dont l'un des côtés est un diamètre du cercle donc ça suffit pour dire que ces triangles son rectangle ans respectivement b et ans et donc les le triangle à bd et qui est rectangle en b ça je vais écrire ici à bédée les rectangles en b et puis j'ai le triangle a cédé à céder qui est rectangle on sait donc en fait ça veut dire que ab cette droite là est perpendiculaire à b d un abbé est perpendiculaire à bédée voilà et puis aussi dans le triangle a cédé je sais que ac est perpendiculaire a cédé assez adroite ac est perpendiculaire à la droite cds voilà mais ce qu'on sait par hypothèse c'est que h et l'or au centre du triangle a baissé ce qui veut dire que bh cette droite la dh est perpendiculaire à ac 1 bh et perpendiculaires a assez à la droite assez et puis de la même manière ch est perpendiculaire à ab donc ch est perpendiculaire à ab voilà ça c'est par définition de leurs hôtes au centre donc finalement ça veut dire que les droites ch et bd sont toutes les deux perpendiculaire à ab donc ça veut dire que ch ch est parallèle à bédée ch est parallèle à bd et puis de la même manière bh et cd sont toutes les deux perpendiculaire à ses dons bh et cds sont des droites parallèles bh est parallèle à la droite cds voilà alors ça c'est intéressant parce que ça veut dire que le règle kadri la terre qui la bh cd v le tracé comme ça se traite kadri la terre là voilà ce cadre il à terre là et bien c'est un parallélogramme j'ai fait comme ça c'est un parallélogramme m6 on n'a pas tout à fait l'impression sur cette figure mais là on l'a démontré le pas le cadre et la terre bh cd est un parallélogramme est un parra les lots g alors ce parallélogramme il a deux diagonales je vais les traces et il ya celles ci la diagonale baissé voilà première diagonale et puis il ya cette diagonale là bhd pardon donc ça ce sont les deux diagonales et en fait comme bh ses dettes à parallélogramme on peut être sûr que les deux diagonales se coupe en leur milieu donc ça veut dire en particulier que le point à primes et le milieu de hdc le milieu de hd alors évidemment à prime c'est aussi le milieu de baisser puisque la prime est par construction voir c'est la médiane du triangle abc donc ça c'est pas ça c'est en fait une des données de l'énoncé un mail à ce qu'on voit c'est que la prime est aussi le milieu de hd alors ça si tu es maintenant je vais regarder ce triangle là le triangle à hd je vais faire en violet donc dans ce triangle à hd ce que je sais c'est que a primé le milieu de hd et ça ça veut dire que la droite a à prime est une médiane c'est une médiane de triangle à acheter est une médiane du triangle aah des voix la fin c'est une première chose alors si je regarde un peu plus précisément ce segment à à prime je sais que le point g est le centre de gravité du triangle a baissé ça ça veut dire que le point g il est à à deux tiers du segment aa prime par définition de centre de gravité on sait que il partage le segment médiane en 2/3 1/3 ici la longueur âgées ces deux tiers de la prime et la longueur j'ai appris nce et un tiers de a pris voilà donc ça c'est vrai quand on se place dans le triangle a baissé mais c'est aussi vrai évidemment quand on se place dans le triangle à hd donc j'ai il est à deux tiers du segment à un prime qui est médiane de la hd donc en fait j'ai c'est le centre de gravité de à du triangle à hdc le centre de gravité de à h dès lors si g et le centre de gravité de la hd ça veut dire que c'est le point d'intersection des médianes et donc la droite hg coupe le côté opposé à des en son milieu et le milieu de cette droite à desbiens seo par construction de d1 donc la droite âgé ça je vais l'écrire ici la droite hg est une médiane et elle coupe ad le segment à des en son milieu et ce milieu c'est au par construction et finalement on a terminé on a démontré que h je vais écrire la conclusion h au et j'ai sont alignés voilà et pour ça on a utilisé uniquement deux choses principalement le fait que un triangle inscrit dans un cercle dont un des côtés est un diamètre et bien c'est un triangle rectangle ça a été une première propriété qu'on a utilisé et puis une deuxième chose c'est que le centre de gravité est situé à deux tiers des médias voilà