Factoriser en utilisant l'identité remarquable du carré d'une somme

bonjour dans cette vidéo on va s'entraîner à factoriser des polynômes du second degré donc par exemple je te propose d'essayer de factoriser ce polynôme là c'est à dire de l'écrire sous la forme d'un produit 2,2 polynôme qui sont des polynômes 2° un bon alors on a déjà vu une technique sur la khan academy pour factoriser dans certains cas un polynôme du second degré c'était ce qu'on avait appelé la technique de la somme et du produit et il s'agissait de reconnaître dans ce terme là le produit de deux nombres entiers et dans ce terme là la somme de ces deux même nombre qu'il faut qu'on trouve deux nombres dont le produit est égal à 9 et dont la somme est égal à 6 ça c'était une des techniques qu'on avait vus sur sur la khan academy s'engage à les revoir si tu peux donc un produit de deux nombres entiers qui est égal à 9 on peut prendre un x 9 par exemple mais dans ce cas là un +9 ça fait 10 et ça fait pas 6 donc ça ça marche pas donc ça c'est pas la bonne solution on peut prendre 3 x 3 puisque 9,7 égale à 3 x 3 et dans ce cas là effectivement trois plus trois c'est égal à 6 donc ça ça va marcher et ça veut dire en fait que x au carré +6 ticks +9 et bien c'est égal à x + 3 facteur 2 x + 3 voilà et là on a factoriser notre polynôme bon alors la limite de cette technique c'est que elle marche si on se limite à des nombres entiers par exemple et parfois même avec des nombres entiers ça peut être assez compliqué à faire donc ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est essayer de trouver une autre technique qui marchent plus facilement à tous les alors pour ça on va partir d'une identité remarquable que tu connais qu'est celle ci la gelée recopier du cours de la khan academy qui suit tu peux aller la revoir et elle nous dit que quand on a une expression comme ça une somme de deux nombres qu'on élève au carré a + b le tout élevée au carré bien c'est égal à awkar et + 2 x ab plus bo carré alors si ça t'intéresse on peut retrouver ce développement là on va développer l'expression a + b au carré en somme ça s'appelle un développement et on peut le faire tout simplement en utilisant la distributive it et puisque a + b au carré et bien c'est égal à a + b poids a + b du coup quand on développe cette cette expression là on aa voix a déjà ça s'adonne à au carré ensuite on a à x b donc ça ça donne plus à b ensuite on a ici bébé fois à des fois c'est la même chose que à x b donc on a encore une fois à x b et puis ici enfin au mas ce terme-là b o car est donc plus mais aucun est donc finalement ça c'est égal à hao carré plus ab plus à belhaj est en fait deux fois ab donc j'ai deux fois avec j'écris comme ça deux abbés plus b au carré donc tu vois que je retrouve exactement cette identité remarquable qui est là alors ici tu vas me dire mais là ce qu'on a fait c'est développer un produit alors que ce qu'on cherche à faire ici celle inverse c'est factoriser un produit effectivement tu as tout à fait raison mais en fait ce qu'il faut comprendre c'est que cette identité remarquable là peut la lire dans l'autre sens je vais la lire comme ça à au carré plus deux fois à foix bgc 2 respecter les couleurs plus b au carré et ça c'est égal du coût à je vais l'écrire comme ça est égal à a plus b au carré voilà j'ai écrit exactement cette identité remarquable sauf que je l'écris talents vers et tu vois que là du coup ce qu'on fait quand on lille légal identité remarquable dans ce sens là c'est qu'on va factoriser cette expression là pour l'écrire comme le carré d'une somme de deux nombres alors là ce qui est important de remarquer c'est que on a ici le nombre à au carré c'est le nombre à au carré ici on a le nombre b élevée au carré et puis ici on a deux fois deux fois le produit ab deux fois le produit à b alors on va servir de ça maintenant pour essayer de factoriser cette expression la xe au carré plus 6 x + 9 ici en fait j'ai le nombre x élevée au carré donc ça c'est x élevée au carré ici ce 9 il faut que je l'écrive comme le carré d'un nombre alors le cne en fait neuf c'est le carré de 3 donc ici je vais avoir trois élevée au carré et puis ce terme là 6x il faut que j'arrive à l'écrire comme un double produits un double produire c'est à dire donc je reviens là dessus le double produit c'est ça c'est deux fois le produit à b donc il faut que j'arrive à l'écrire comme 2 x x x 3 effectivement 6 x 6 x je peux l'écrire comme deux fois x x 3 2 x x x 3 donc ici j'ai bien deux fois le nombre x ici fois le nombre trois ici donc finalement je retrouve exactement ce terme qui est ici donc maintenant je verrai écrire mon polynôme en utilisant les bonnes couleurs et tu vas voir que ça va être assez clair donc gx au carré plus deux fois x x 3 plus 3 au carré 3 au carré et donc là je retrouve exactement si tu veux cette expression là donc je peux maintenant factoriser en utilisant cette cette identité remarquable je sais que ça va me donner le carré de la somme x + 3 x + 3 voilà donc l'idée c'est de utiliser cette identité remarquable de reconnaître que d'une part on a le carré du nombreux x ici on a le carré d'un nombre parfois bon ici c'était assez simple mais parfois on sera obligé de prendre une racine carrée et puis de reconnaître que le terme de degré 1 le terme qui contient x eh bien c'était le double produit donc 2 x x x le nombre ici qu'on a élevée au carré alors on va faire un autre exemple pour être sûr d'avoir bien compris on va essayer de factoriser ce polynôme l'a25 - + 10 x + x au carré alors le terme constant ici il faut que je le reconnaissent comme le carré de quelque chose 25 c'est le carré de 5 et puis ici je reconnais que x au carré bien c'est le carré de x alors le double produit deux fois 5 2 x 5 x x 2 x 5 x x et bien ça c'est égal à 10 x 2 x 5 x x a fait bien 10 x donc ce terme qui est ici ce terme qui est ici et bien c'est celui ci je peux l'écrire comme 2 x 5 x x donc si tu préfères ce que je vais faire c'est réécrire comme tout à l'heure ce polynôme là en utilisant les couleurs ici je vais avoir 5 élevée au carré plus deux fois 5 x x plus x élevée au carré +6 élevée au carré et donc là je peux me servir de l'identité remarquable en fait ça ça va être le carré de la somme 5 plus x et tu peux tout pour vérifier que tout pas tromper tout simplement en reprenant cette expression là et on l'a redéveloppant et tu devrais trouver le polynôme ici développé à bientôt