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Cours : Seconde > Chapitre 3 

Leçon 7: Simplifier une expression fractionnaire
Mathématiques
Seconde
Nombres et calcul - Calcul littéral
Simplifier une expression fractionnaire
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Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?

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La définition. Les valeurs de la variable pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie.

Le sujet traité

C'est une première leçon sur les fractions rationnelles. On va voir comment trouver les valeurs de x pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie.

Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?

Un monôme est une expression de la forme axn où a est un réel et n un entier et un polynôme est une somme de monômes.
Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Autrement dit, c'est une fraction dont le numérateur et la dénominateur sont des polynômes.
Voici trois exemples de fractions rationnelles :
  • 1x
  • x+5x2−4x+4
  • x(x+1)(2x−3)x−6
Le numérateur peut être une constante et les polynômes peuvent être écrits sous diverses formes.

Les valeurs pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie

Soit la fraction rationnelle 2x+3x−2.
On peut calculer sa valeur pour différentes valeurs de x. Par exemple, quelle est sa valeur si x=1 ?
2×1+31−2=5−1=−5
Si x=1 la fraction est égale à −5.
Et si x=2 ?
2×2+32−2=70la fraction n’est pas définie !
Si x=2 alors le dénominateur de la fraction est égal à 0. On ne peut pas diviser par 0 donc la fraction n'est pas définie si x=2.

L'ensemble de définition d'une fraction rationnelle

L'ensemble de définition d'une expression est l'ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles l'expression est définie.
Dans le cas d'une fraction rationnelle, c'est l'ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles le dénominateur est différent de 0 car on ne peut pas diviser par 0.
Autrement dit, les seuls réels qui n'appartiennent pas à l'ensemble de définition d'une fraction rationnelle sont les réels qui annulent le dénominateur.

Exemple : L'ensemble de définition de x+1(x−3)(x+4)

On calcule les valeurs qui annulent le dénominateur :
(x−3)(x+4)=0↙↘x−3=0oux+4=0x=3oux=−4
Donc son ensemble de définition est l'ensemble des réels privé de 3 et de -4, ou tout réel tel que x≠3 et x≠4

À vous !

Exercice 1
Quel est l'ensemble de définition de x+1x−7 ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
Quel est l'ensemble de définition de 3x−72x+1 ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 3
Quel est l'ensemble de définition de 2x−3x(x+1) ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 4
Quel est l'ensemble de définition de x−3x2−2x−8 ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 5
Quel est l'ensemble de définition de x+2x2+4 ?
Choisissez une seule réponse :

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur 😊
    Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de 😊 «j'ai pas compris le derni ... »
    j'ai pas compris le dernier exemple
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Alex
      Posté il y a il y a 2 ans. Lien direct vers le message de Alex «x^2 est toujours positif ... »
      x^2 est toujours positif ou nul sur R et 4 est strictement supérieur à 0, donc x^2+4 est forcément supérieur à 0 et donc ne s'annule pas sur R.

      Si le dénominateur ne s'annule pas sur R, la fonction est définie partout et donc x peut prendre n'importe quelle valeur réelle.
      (3 votes)
  • leaf green style l'avatar de l’utilisateur JeanPaul9
    Posté il y a il y a 3 mois. Lien direct vers le message de JeanPaul9 «Attentez, x^2+4 fait (x+2 ... »
    Attentez, x^2+4 fait (x+2)^2 n'est ce pas ,donc ça va faire x=-2, au finale ou pas?
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      Posté il y a il y a 3 mois. Lien direct vers le message de Elisabeth «Bonjour, Non, x²+4, ce n' ... »
      Bonjour,
      Non, x²+4, ce n'est pas la même chose que (x+2)².
      On ne peut pas distribuer le carré à l'intérieur d'une somme.
      Tu peux comprendre cela en regardant les chapitres traitant de la double distributivité, ainsi que ceux sur les identités remarquables.
      En particulier, la vidéo "Carré d'une somme"
      (1 vote)
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