Résoudre une équation du second degré en utilisant les racines carrées 2

dans cette vidéo je te propose d'étudier des polynômes du second degré qui ont une forme un peu particulière et tu peux prendre ça comme un échauffement pour le module suivant où on découvrira une méthode pour résoudre n'importe quel type de polinum du second degré disons qu'on a ici 4 x + 1 le tout au carré - 8 égal zéro pour résoudre ça peut être que tu es tenté de faire appel à des connaissances en factorisation en disant ok si je développe quatre expulsions au carré que je simplifie les constantes en soustrayant -8 et que je facture est à niveau pour essayer de retomber sur une expression du type x - quelque chose x x - quelque chose d'autre égal 0 et ensuite il suffit de dire et bien au moins un de ces deux termes doit être égale à zéro donc kicks peut être égal à ce quelque chose ou à ce quelque chose là mais on ne va pas faire ça ici parce qu'en fait on peut résoudre ça sans avoir à développer puis factoriser à nouveau comment ça eh bien on peut commencer par ajouter 8 de chaque côté de l'équation à gauche il nous reste 4 x + 1 au carré puisque 8 - 8 ça fait zéro et à droite il nous reste et bien ils le restent 8 maintenant qu'est-ce qu'on peut faire à ton avis pour simplifier ça on peut mettre chaque côté à la racine carrée racine carrée mais attention à droite on a plus pas racine carrée de 8 ou bien moins racine carrée de huit puisque 4 x + 1 pourrait être la racine carrée positive de 8 ou la racine carrée négatif de 8 racine carrée de 4x plus en au carré et bien c'est 4 x + 1 on a donc 4x plus un égale plus racine carrée de 8 ou bien 4x plus un égale moins racine carrée de 8 ans 8 ici on à 4x plus un égale racine carrée de 8,8 ses 4 x 2 donc la racine carrée des huit c'est égal à la racine carrée de 4 x 2 et saas est égale à la racine carrée 2 4 fois la racine carrée 2 2 tu sais que la racine carrée de 4c de donc on peut écrire ça comme deux fois la racine carrée 2 2 et à partir de là je pense que tu sais comment résoudre ça pour trouver x il suffit d' isoler x d'un côté de l'équation donc on va enlever un de chaque côté on a moins un plus 4x plus un égale moins un plus de racines carrées 2 2 il nous reste ici - un plus un ça s'annule il nous reste 4 x égal moins un plus de racines carrées 2 2 ça ça pourrait se simplifier si on avait une calculette on obtiendrait un résultat avec plein de décimales donc je préfère laisser la racine carrée ça fait plus propre et enfin on divise tous les termes de l'équation par quatre et nous reste x égal moins un plus de racine carrée de 2 le tout sur 4 et ensuite on fait exactement la même chose ici si tu veux tu peux t'amuser à résoudre ça et on va obtenir presque le même résultat avec le signe - ici au lieu du cygne plus ça va donner donc on a ou x égal moins en moins de racine carrée 2 2 sur 4 et pour te prouver que ces deux résultats qui sont bien bizarres sont bien solution de notre équation de départ qui semble pourtant assez simple je te propose d'en essayer un dans l'équation on va essayer ce résultat là ça nous donne quatre fois moins un plus de racine carrée de 2 sur 4 + 1 le tout au carré - 8 égal zéro ici 4 et 4 ça s'annule il nous reste moins un plus de racine carrée de 2 + 1 tout ça au carré - 8 égal zéro ici - un plus un ça s'annule il nous reste de racine carrée de deux au carré - 8 et galles 0-2 racine carrée de au carré ces quatre fois de -8 et ça c'est bien égal à 0 4 x 2 8 8 - 8 ça fait bien 0 et avec cet autre solution honoré obtenu exactement le même résultat et on va essayer ça avec un autre exemple mais rappelle toi bien qu'on étudie ici des polynômes du second degré un peu particulier puisque on a ici des binômes au carré disons qu'on a ensuite x au carré - 10x plus 25 égale 9 ici encore on est tenté de simplifier tout ça en enlevant 9 de chaque côté puis en factories ans etc etc mais avant ça est-ce qu'on ne reconnaîtrait pas quelque chose dans ce terme à gauche on dirait bien ici une identité remarquable et plus précisément celle qui nous dit que au carré - 2 ab plus bo carré égal à moimbé au carré avec ici à se régala x et b se régale à 5 ici on a bien à aux carrés et cx carré ensuite deux abbés et bien c'est 2 x x x 5 donc c'est bien 10x et puis si on a bien le signe - et enfin bo caresser 5 au carré c'est bien 25 donc ce trinôme ici peut s'écrire sous la forme d'un binôme au carré x - 5 au carré égale 9 et à partir de là c'est très facile il suffit de prendre la racine carrée de chaque côté et en plus cela on a de la chance on a neuf c'est un carré parfait et on obtient x -5 égale +3 ou bien x - 5 égal moins 3 je vais résoudre pour x dans cette équation l'arrêt puis je te laisserais faire la même chose pour salah alors on ajoute 5 2 chaque côté telle équation cinq mois 5 ça fait zéro il nous reste x égal moins 3 + 5 ça fait deux et ici tu vas trouver x et y à 8x égale 8 ou x égal 2 et donc on aurait aussi pu faire ce que tu ailles peut-être été tenté de faire c'est-à-dire soustraire 9 de chaque côté on obtient x au carré - 10 x ça ça ne change pas plus 25 - 9 ça fait 16 +16 égal 0 et ça ça nous ramène à un problème de factorisation classique on cherche de nombre tel qu'on puisse réécrire cette équation sous la forme x plus quelque chose soit x plus quelque chose et qu'elle 0 donc quelles sont les deux nombres qui nous permettent d'obtenir 16 quand on les multiplie et -10 quand on les additionne eh bien peut-être que -8 et -2 2 viennent à l'esprit donc x - 2 x x -8 égal 0 et donc x et il ya deux ou six égale 8 on arrive bien à ce même résultat et c'est ce qui est sympa avec la job on peut résoudre le même problème avec différentes façon dont on arrive quand même au même résultat allez on va s'entraîner avec un dernier exemple on a cette fois x carré plus 18x +81 égal 1 et encore une fois on peut résoudre ça de deux façons différentes on peut soit soustraire en deux chaque côté et essayer de factoriser ou alors on peut se dire tiens je reconnais une identité remarquable cette fois à au carré + 2 ab plus bo carrés avec à ses x et b ses 9,9 au carré ces 80 2 x 9 x x c'est 18x donc ça ça devient x + 9 o car est égale 1-1 et ensuite on met tous à la racine carrée on a de la chance racine carrée deux ans fait un temps qu'il nous reste x + 9 égales - 1 ou bien x + 9 égale +1 et on soustrait 9 de chaque côté pour ces deux équations et il nous reste ici x égal moins 10 est ici x égal moins huit donc x également un indice ou bien x égal moins 8 et si on avait voulu faire ça avec une factorisation pas reproduit essonne on aurait soustrait un de chaque côté et on aurait obtenu x au carré plus 18x +80 égale 08 + 10 c'est 18 8 x 10 et 80 donc on aurait pu écrire x + 8 x x + 10 égal zéro et on aurait trouvé la même chose x est égal moins huit aux biens x égales - disent la même chose qu'ici voilà ça c'était un échauffement j'espère maintenant que tu motivé pour qu'on s'attaque sérieusement au polinum du second degré