Somme et produit de nombres irrationnels

bonjour dans cette vidéo on va s'intéresser au nombre irrationnel et en fait la question qu'on va se poser c'est si la somme de 2 nombre irrationnel et toujours un nombre irrationnel ou pas et puis ensuite on verra ce qui se passe avec les produits donc précisément ce que j'ai ici ces deux nombres a et b qui sont tous les deux irrationnel je me demande si la somme a + b cette somme là ça c'est un nombre que je peux appeler c est bien est ce que cette somme est un nombre rationnelle ou pas alors mais la vidéo sur pause et essaye de répondre à cette question de ton côté peut-être que le mieux c'est de prendre quelques exemples pour voir comment ça se passe alors il est possible que durer un petit peu de difficultés devant cette question parce qu'en fait la réponse n'est pas claire en fait on n'en sait rien ça dépend complètement dénombre a et b qu'on choisit alors pour te montrer ça ce que je peux faire c'est tout simplement prendre des exemples alors je vais prendre un premier exemple où le nombre à et bien cpie par exemple pis c'est un nombre irrationnel ça tu le sais aussi bien que moi et pour bébé je vais prendre le nombre - pis - pis donc ça c'est l'opposé du nombre pi donc c'est aussi un nombre irrationnel évidemment parce que si - piété rationnelle à ce moment là pis le seraient aussi donc c'est pas le cas donc c'est de l'ombre là sont bien des nombre irrationnel est ce qu'on peut voir dans ce cas là c'est que la somme a + b a + b eh bien c'est dit pis plus - phi phi plus - pis et évidemment pis plus - peas a fait pipi - pis donc ça c'est égal à zéro et 0 est un nombre rationnelle donc là on a bien une somme de 2 nombre irrationnel et la somme elle est rationnel voilà ça c'est un premier exemple alors évidemment ce petit truc là tu peux le faire avec n'importe quel autre nombre irrationnel que tu connais par exemple tu peux très bien prendre à égal racine carrée de 2 et puis b égales - racine carrée de 2 voilà et dans ce cas là la somme a + b a plus fait évidemment et bien ses racines carrées de 2 - racine carrée de 2 - racine carrée de 2 donc ça fait zéro qui est un nombre rationnelle donc là on a un exemple très clair qui nous montre que la somme de 2 nombre irrationnel mais pas toujours un nombre irrationnel alors du coup on pourrait supposer que la somme a + b la somme de 2 nombre irrationnel et toujours rationnels mais évidemment ça c'est pas le cas non plus et on peut le voir avec un autre exemple je vais prendre à égal pis toujours puis b et galp et aussi beghal pu aussi du coup dans ce cas là la somme a + b a + b et bien c'est pis plus pipi plus pis et ça ça fait 2 pi alors maintenant il faudrait arriver à démontrer que 2 pi et soit rationnelle soit irrationnel en fait ce nombre là évidemment il étire irrationnel irrationnel et ça évidemment on peut le voir tout simplement se disant que si deux pays était un nombre rationnelle à ce moment là pis qui est la moitié de 2 pi serait lui aussi un nombre rationnelle ce qui est faux donc ce nombre là deux pays et bien effectivement un nombre irrationnel donc tu vois là on a trouvé des exemples où la somme de deux nombres et rationnel est un nombre rationnel est un autre exemple où la somme de 2 nombre irrationnel est un nombre irrationnel donc en effet en fait on ne peut pas dire si la somme de 2 nombre irrationnel est un nombre rationnelle ou pas en fait ça dépend complètement des nombres qui sont impliqués voilà maintenant on va se poser la même question concernant n'ont pas les sommes mais les produits donc précisément on prend comme tout à l'heure 2 nombre irrationnel a et b et on se demande si le produit à x b est un nombre rationnelle ou irrationnelle donc encore une fois mais la vidéo sur pause et essaye de réfléchir tout seul à cette question bon alors on va le faire ensemble en fait je vais prendre l'exemple qui me semble plus simple pour l'instant je vais prendre à égal à racine carrée de 2 par exemple et puis b égal à racine carrée de 2 aussi je pense que tu vois où je veux en venir maintenant si je calcule le produit ab le produit a bel et bien ses racines de 2 fois racines de deux autres mendient racines de deux au carré et racines de 2 où il veut au carré et bien on sait que ça fait deux et deux c'est un nombre rationnelle ça c'est un nombre rationnelle évidemment voilà donc on a un exemple de deux nombre irrationnel dont le produit est un nombre rationnelle alors évidemment ça tu pourrais le faire avec n'importe quel autre racine carrée j'imagine que tu as compris si tu prends à égal racine de carré de 5 et b égale racine carrée de 5 le produit à x b sera égal à 5 racine carrée de 5 élevée au carré c'est à dire à 5 donc ça sera un nombre rationnelle je peux même te donner d'autres exemples si tu veux un peu plus compliqué par exemple si tu prends à égal pis à égal pi et b égal un sur pie alors un sur pied forcément irrationnelles puisque celle inverse de py met donc si ça c'était un nombre rationnelle et bien son affaire serait rationnel aussi ce qui n'est pas le cas puisque la verse 2 1 sur peace épique et irrationnel donc ça c'est effectivement de nombreux irrationnelle et leurs produits à x b à x b et bien c'est pie x 1 sur pie pie x 1 sur pie et ça fait inquiète aussi rationnel maintenant une fois qu'on a fait ça on serait tenté comme thaler de dire que le produit de deux nombre irrationnel et toujours rationnels puisque ici on a des exemples qui nous dirait ça mais en fait on va prendre un autre exemple dans lequel ce n'est pas le cas alors je vais prendre disons à égal racine carrée de 2 hé bé égal racine carrée de 5 par exemple et dans ce cas là le produit ab le produit ab eh bien ces racines carrées de deux fois racine carrée 2,5 et ça est bien c'est que ça fait racine carrée de 5 x 2 c'est-à-dire racine carrée de 10 et ça c'est un nombre irrationnel puisque disney pas un carré parfait donc ça c'est un nombre irrationnel alors évident on l'a aussi tu peux prendre presque n'importe quel racine carrée et les multiplier entre elle et le plus souvent tu vas tomber sur un nombre irrationnel voilà donc la morale de l'histoire c'est qu'en fait quand tu prends deux nombre irrationnel a et b tu ne peux pas savoir a priori si leur sommet leurs produits sont effectivement des nombres rationnelle ou irrationnelle en fait ça dépend complètement des nombres qui sont mis en jeu