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La planche de Galton

Pensez à une suite d'événements aléatoires comme les divers résultats des tirages du loto, ou les résultats obtenus quand on joue à Pile ou Face ou quand on joue aux dés.
Ces événements sont dits indépendants car les résultats précédents n'ont aucune influence sur le résultat suivant. Si on a lancé 3 fois de suite une pièce de monnaie non truquée et si on a obtenu Pile à chaque fois, au 4e lancer, il y a autant de chances d'obtenir Pile que d'obtenir Face.
Il serait intéressant de savoir combien de fois on obtient Face, en moyenne, dans une suite de "Pile ou Face". Si on lance une pièce 10 fois, que peut-on dire du résultat ? Peut-on réellement en dire quelque chose ?
Plutôt que de lancer une pièce pendant toute la journée, on peut utiliser un mécanisme équivalent pour accélérer les choses. Qu'est-ce qui est équivalent à un lancer de pièce ? Et bien, tout procédé se traduisant par 2 issues équiprobables. Par exemple, on peut lâcher un disque juste au-dessus d'un dispositif qui le dévie soit vers la droite, soit vers la gauche.
On peut ainsi modéliser une suite de Pile ou Face aussi longue soit-elle. Au milieu du XIXe siècle, Francis Galton en avait eu l'idée. Voici un schéma de son dispositif :
Les rangées de points représentent des rangées de clous. Si on lâche une bille sur ces rangées de clous, chaque fois que cette bille rencontre un clou, elle est déviée soit vers la gauche soit vers la droite. Puis elle arrive dans l'un des godets du bas. Le godet dans lequel elle arrive dépend des nombres de fois où elle a été déviée dans un sens ou dans l'autre. Si elle arrive dans le godet du milieu c'est qu'elle a été déviée autant de fois à gauche qu'a droite. Si elle arrive dans le godet qui est à l'extrême gauche c'est qu'à chaque fois elle a été déviée à gauche.
Si on lâche des centaines de billes, comment pensez-vous qu'elles vont se répartir entre les godets ? Sont-elles plus susceptibles d'arriver dans tel godet que dans tel autre ? Vont-elles se répartir également dans chacun des godets ?
On essaie ! Ci-dessous, une simulation du dispositif de Galton que vous pouvez utiliser :
Que constatez-vous ?
Faites les exercices pour tester si vous avez compris.

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