Déterminer si une matrice est inversible

jusqu'ici on s'est intéressé à l'inversé des matrices de taille de 2 ou 3 3 mais on s'est même pas posé la question en fait est ce qu'il est possible d'inverser toutes les matrices carré de taille de deux de taille 3 3 ou de taille n est en fait la réponse c'est non toutes les matrices car ils ne peuvent pas forcément être inversée et on va essayer de voir ici hein pourquoi et qu'est ce que ça implique en fait que certaines matrice que pour certaines matrice linverse ne soit pas défini on va prendre un exemple facile pour illustrer ça on va prendre une matrice de taille de 2 avec les éléments 1b ses idées donc pour essayer d'être le plus général possible et donc on va voir ce qu'on appelle des matrices singulière une matrice singulière c'est une matrice carrés qui ne possèdent pas d'un verre sous et donc on va voir que les matrices qui ne possèdent pas d'un verre ce qu'on ne peut pas inverser eh bien on appelle ça des matrices singulière alors tu dois t'en souvenir puisqu'on l'a déjà vu l' inverse de cette matrice de deux on la définit comme un sur le déterminant donc un surdéterminant cette matrice de deux fois ce qu'on appelle la transposer de l'aco matrice donc ici c'est plus précisément donc un sur dead 2 1 et donc cette matrice transposer cette transposer de la formatrice et bien c'est tout simplement j'inverse pour une matrice de deux la place des éléments sur la première diagonale donc à prendre la place de des vice versa et ensuite les éléments b et c reste au même endroit mais on les multiplie par - donc là je pense que tu vois tout de suite à paraître le problème peut être que tu as vu dans les vidéos précédentes on divise par un certain nombre et donc il faut bien sûr s'assurer que ce nombre n'est pas nulle effectivement si le déterminant de à nuls alors on se retrouve à / 0 qui n'est bien sûr une opération qui n'est pas défini donc en fait l'un verse 2 1 n'est pas défini si et seulement si j'écris est celle ci déterminant de 1 est égal à zéro donc c'est bien simple si le déterminant d'une matrice est égal à zéro alors linverse de cette matrice n'est pas défini et on dit que cette matrice est singulière alors on va essayer de voir ce que ça implique de manière un peu plus concrète que le déterminant soit nul donc ici notre déterminant mais c'est très simplement à foix des - b fois c'est donc ça c'est le déterminant de 1 et donc si c'est égal à zéro le prends une autre couleur bien ça veut dire que ad est égal à baisser donc ça on peut également le réécrire comme alors à des qit pardon à des est égal à baisser donc ça on peut également le réécrire comme assure b est égale 1 c'est sûr dit donc cette matrice à possède pas d'un verse et on a le rapport assure b qui est égal au rapport c'est sur des on va voir qu'est ce que ça implique se déterminant nul sur les problèmes matricielle qu'on a évoqué précédemment par exemple on va prendre le cas d'une équation matricielle donc une matrice a b c d de taille de 2 que l'on multiplie pas un vecteur colonnes xy pour obtenir le vecteur colonnes e f donc je le rappelle cette équation matricielle si on développe et bien ça nous donne un système de deux équations linéaire à x + b y est égale à e et cx plus d y est égal à f et donc résoudre ce problème dans lequel x et y sont les inconnus revient à trouver l'intersection de ces deux droites on a que j'ai écris ici si je réécris l'équation de ces droite sous forme classique ça nous donne y est égal à - 1 / b x plus que sur b et y est égal à moins c'est sûr des x + f sur des alors si on reprend si cette matrice à d'un pad inverse à ce moment là on a assur b qui est égal c'est sur des on l'a montré ici puisque le déterminant de la matrice nuls et donc dans ce système de deux équations ici s'ils assurent b est égal à ces sur des ça veut dire en fait que ces deux droites ont la même pente donc en fait si on a deux droites qui ont la même pente mais qui ont une ordonné à l'origine différentes à ce moment là c'est deux droites parallèles qui ne vont bien sûr jamais se croiser et donc par exemple si je prends un repère ici et que je trace cette première droite celle du haut ici bien ça va nous donner par exemple quelque chose comme ça avec ici une premier point d'intersection e / b ordonné à l'origine eux sur b la deuxième droite donc je sais qu'elle est parallèle je sais pas s'il est au dessus ou en dessous on va le mettre manière arbitraire ici est donc à la hune ordonné à l'origine f sur des donc on voit bien que avec ses de droite qui ont la même pente et une ordonné à l'origine différentes il n'y a pas de point d'intersection il n'a donc pas de solution à ce système alors là tu commence peut-être à dire oui mais qu'est ce qui se passe si les deux ordonné à l'origine ici donc si note f sur des est égale à e / b alors dans ce cas là et bien les deux droites sont exactement confondues donc en fait elles ont une infinité de points d'intersection donc le fait que cette matrice est un déterminant qui soit égal à zéro le fait le fait qu'on ne puisse pas prendre linverse de cette matrice correspond à deux cas de figure possibles le premier sur cette représentation graphique correspond à deux droites parallèles qui ne sont jamais c'est quand donc il n'ya pas de solution à ce système est le deuxième cas correspond à 2 droite confondues donc il ya une infinité de solutions mais dans aucun cas il n'ya de solution unique lorsqu'on ne peut pas inverser la matrice on peut prendre un deuxième exemple un deuxième cas de figure on va regarder le le cas d'une combinaison linéaire de vecteurs par exemple on aa c'est notre vecteur x x + b dès notre deuxième vecteur x y donc ça c'est égal aux vecteurs ef qu'on regarde non plus une équation matricielle mais une combinaison linéaire de vecteurs alors si on trace ce premier vecteur dans un repère que j'ai mis ici donc on va dire que c'est ici etc c'est ici donc le premier vecteur ressemble à à peu près quelque chose comme ça et donc deuxième vecteur vecteur bd puisque on est toujours dans le cas de la matrice 1 dont le déterminant nuls et bien on a assur b qui est égal c'est sûr dès qu'on peut réécrire bien sûr comme à sursee et galbées sur des donc ces deux vecteurs ont en fait exactement la même pente donc si par exemple on a b ici et d ici mais on va arriver ici et donc nos deux vecteurs vont être complètement colinéaires parallèle donc ça se voit pas sur le dessin mais les deux vecteurs ont exactement la même pente ils ont exactement la même direction puisque on a le déterminant qui nul qui nous donne que assure c est égal à b / d éventuellement même ces deux vecteurs peuvent avoir exactement la même norme alors on va dessiner maintenant le vecteur ef de manière un peu arbitraire par exemple eu ici un fils il donc voilà notre vecteur ef est donc là si je te pose la question est ce qu'il est possible en faisant les additions et des soustractions de ces deux vecteurs le bleu et le orange ici d'obtenir le vecteur ef ici et la réponse est bien sûr non quelle que soit la combinaison linéaire de ces deux vecteurs qui sont parallèles qui sont collinée eh bien on va toujours se déplacer sur cette même droite et on ne pourra jamais atteindre la droite qui est porté par le vecteur ef ici par hasard le vecteur ef et confondues a exactement la même direction que le vecteur ac et bd mais dans ce cas là il ya une infinité de solutions donc ça revient aux cas précédents où on avait les deux droites qui sont confondus alors j'espère que tu auras bien compris au cours de cette vidéo que si on n'a pas d'un verre ce pour une matrice carré il ya ça veut dire que le déterminant nuls et si le déterminant est nul ça ceux des conséquences concrètes sur par exemple les problèmes de systèmes d'équations on voit qu alors à ce moment là on a soit pas de point d'intersection entre les deux droites soit les deux droites qui sont confondus et pour ce qui est des problèmes de combinaisons line est un des vecteurs eh bien on voit qu'il n'ya soit pas de solutions soit une infinité de solutions également parce que les tous les vecteurs sont portés par la même droite donc dans les deux cas lorsque la matrice ne peut pas être inversée on n'a pas de solution unique