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Distance d'un point à une droite

Différentes façons de calculer la distance d'un point à une droite. Créé par Sal Khan.

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  • aqualine seed style l'avatar de l’utilisateur Blaackmonkey
    Bonjour, je voulais savoir, comment calcule - t - on la distance entre un point et une droite dans l'espace? Il y - a - t'il une formule?
    Merci.
    (2 votes)
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Transcription de la vidéo

déterminer la distance entre le point - de - 4 donc ce point là et la droite d'équations y égal moins sûr 3x plus de cette droite bleus ici ceux que je te propose de faire c'est d'abord de tracer la droite perpendiculaire à cette droite bleus et qui passent par ce point donc cette droite à une allure à peu près comme ça c'est la droite perpendiculaire à cette grotte bleue et qui passe par le point de coordonnées - 2 - 4 maintenant il faut qu'on trouve l'équation de cette droite que je viens juste de tracé pour ensuite déterminer le point d'intersection entre ces deux droites et enfin on pourra déterminer la distance entre ce point là et le point d'intersection entre ces deux droites et on aura la distance la plus courte entre ce point et cette droite alors la première chose qu'on va faire c'est déterminer le coefficient directeur de cette droite perpendiculaire cette droite rose ici rappelle toi ce qu'on a vu dans les vidéos sur deux droites perpendiculaire le coefficient directeur de cette droite c'est l'opposé de l' inverse du coefficient directeur de cette grotte bleue le coefficient directeur de la droite bleus c'est moins un sur trois donc le coefficient directeur de cette droite rose qui lui est perpendiculaire c'est l'opposé de l' inverse de - 1 sur 3 ses + 3 donc ses droits groza une équation du type y égal 3 le coefficient directeur 3x plus b et tout ce qu'il nous reste à faire pour a voir l'équation complète de cette droite c'est de trouver bel ordonné à l'origine le point d'intersection entre la droite et la kz désordonnée alors rien qu'en regardant le graphique on peut dire que ce point est assez proche de 2 mais on va quand même vérifier ça pour ça on va se servir des coordonnées de ce point comme ce point et sur la droite alors ses coordonnées vérifie cette équation donc on va remplacer x et y par -2 et -4 ça nous donne moins quatre égale trois fois - 2 + b et maintenant on a plus qu'à résoudre ça pour b donc moins quatre c'est égal à 3 fois moins deux ça fait moins six plus d on veut se débarrasser de -6 ici donc on ajoute 6 de chaque côté de l'équation - 6 + 6 ça fait zéro et il nous reste 6 - 4 eh bien ces deux et galbées ou encore ben est égal 2 c'est la même chose donc on avait bien raison l'ordonné à l'origine de cette droite c'est bien d'eux on peut donc réécrire l'équation de cette droite comme y égale 3x plus de maintenant ici c'est assez évident que ces deux droites couple axes d ordonner au point y égal 2 pour ces deux droite quand x égal zéro y égal 2 mais si ce n'était pas aussi facile de trouver leur point d'intersection on aurait aussi pu utiliser ces deux équations en se demandant à quelle point 3x plus de à savoir l'équation de cette droite là est égal à - 1 sur 3 x + 2 à savoir l'équation de cette droite là on enlève deux de chaque côté on se demande maintenant quand est-ce que 3 x égales - 1 sur 3 x alors on va ajouter un sur toi x de chaque côté à gauche qu'est ce qu'on arrive y en a 3 x + 1 sur 3 x 3 + 1 sur 3 c'est 10 sur 3 10 sur 3 x égal de notre côté qu'est ce qui nous reste et bien il nous reste 0 on va maintenant multiplier de chaque côté de l'équation par trois sur dix fois 3 sur 10 ici les 10 et les trois se simplifient et il reste et bien qu'est ce qui reste x égal zéro donc ces deux droites se croise quand x égal zéro et pour chacune d'entre elles quand x égal zéro y égale deux tons conseil que ce point c'est le point 0,2 et celui là c'est le point - de - 4 et maintenant on a plus qu'à trouver la distance entre ces deux points alors la formule de la distance ce n'est rien de plus qu'une application du théorème de pythagore on a juste besoin de déterminer la variation de x et la variation de y alors la variation de y d'abord quelle est cette distance là et bien aux bases de y égal moins quatre à y égal 2 c'est donc une variation de 6 et quelle est la variation de x maintenant quelle est cette distance là est bien en passe de x égal moins de ax égal zéro c'est donc une variation de 2 et la distance entre ces deux points et bien en fait c'est juste l'hypoténuse d'un triangle rectangle ici de côté 6 et 2 et si on appelle cette distance dès par exemple d'après le théorème de pythagore on peut écrire que cette distance au carré c'est égal à 6 au carré plus de au carré cette distance au carré c'est égal à cette distance au carré plus cette distance au carré et c'est aussi ce que nous dit la formule de la distance à savoir que des au carré égale x 2 - x1 au carré soit 0 - moins de au carré c'est bien de au carré plus y 2 - y 1 au carré y de ces 2 mois y 1 c'est moins 4,2 mois -4 au carré c'est bien sis au carré alors on peut simplifier sa déco carré égale 6 au carré ses 36 +2 au carré c4 36.4 ça fait quarante donc ds est égale à la racine carrée positif de 40 rappelle toi on prend la racine carrée positive parce qu'on parle ici de distance une distance négative il ne nous intéresse pas et la racine carrée de 40 c'est comme la racine carrée de 4 x 10 donc 17 égal à et bien la racine carrée de 4 x 10 c'est comme la racine carrée de quatre fois la racine carrée du tice est la racine carrée de 4 et bien c'est deux fois la racine carrée 2 10 donc la distance la plus courte entre ce point de coordonner - de - 4 et 7 droite c'est de racine carrée de 10