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Rayon, diamètre et longueur d'un cercle

Transcription de la vidéo

le cercle est probablement une des formes les plus importantes de notre univers c'est vraiment une forme qu'on retrouve partout si on regarde une planète on voit cette forme de circulaire on voit aussi cette forme dans les orbites des planètes c'est la forme d'une roue aussi on retrouve même des formes circulaires au niveau des molécules donc c'est vraiment une forme fondamental de notre univers et voilà ces deux c'est une raison suffisante pour avoir envie d'en connaître les propriétés alors la première propriété qu'on peut mettre en avant par exemple si on regarde la lune on voit une forme on voit un cercle une forme circulaire est la première chose qu'on peut se dire c'est que un cercle cède ce sont des points qui sont tous situés à égale distance d'un point donné qu'ils s'appellent qu'on appelle le centre le cercle c'est ça c'est l'ensemble tous les points qui sont situées à égale distance du centre alors bon qu'est ce que c'est que cette distance une première question qu'on peut se poser c'est qu'est ce que c'est que cette distance-là ici alors cette distance par exemple celle là bas on l'appelle le rayon on l'appelle le rayon c'est un rayon alors si ça c'est si cette distance ici que j'ai tracé ce rayon la mesure 3 cm alors le rayon qui est là que je peux déjà un rayon que je peux dessiner ici il mesure aussi 3 cm si jean dessine un autre là par exemple mesurera aussi trois centimètres voilà tout ça ce sont des rayons c'est exactement comme les rayons d'une roue de vélo quand on regarde une roue de vélo les rayons tous la même taille et c'est exactement la distance du cercle qui constitue la roue au centre qui constitue le moyeu de la roue voilà alors voilà ça c'est vraiment la première propriété un le cercle c'est donc l'ensemble des points qui sont situées à égale distance du rayon du centre pardon et cette distance lad qui va du cercle au centre du cercle ça s'appelle le rayon et y en a on peut tracer une infinité voilà alors une autre question qu'on peut se poser c'est de quelle taille et se serrent quelle est la taille de ce cercle combien grand il est en fait alors une autre façon de se poser cette question là c'est de se demander quelle est la plus grande distance qui peut y avoir entre deux points de ce cercle alors par exemple c'est la plus grande distance qu'il peut y avoir entre deux points de ce siècle ça sera pas là par exemple ça c'est pas la plus grande distance la plus grande distance on va la retrouver quand on quand on est ici par exemple quand on fait cette distance-là donc en fait la plus grande distance qu'on peut qu'il peut y avoir entre deux points de ce cercle c'était c'est un segment qui va passer par le centre du cercle et voilà ça par exemple ces c'est un représentant de cette plus grande distance et cette distance là on appelle le diamètre le diamètre et c'est comme pour le rayon on pourrait tracer des diamètres plusieurs diamètres en fait on pourrait en tracer un autre ici par exemple voilà je pourrais tracer un diamètre comme ça c'est un diamètre aussi que j'ai tracée en jaune c'est juste un point qui c'est juste un segment de droite qui juin un point du cercle un autre poids du cercle et qui passe par le centre du cercle qui est ici alors on peut remarquer facilement qui a une relation très simple entre le diamètre est le rayon puisque ici ça cette distance là c'est un rayon et cette distance là c'est un rayon aussi donc en fait le diamètre et bien c'est tout simplement deux fois le rayon deux fois le rayon le diamètre ces deux fois le rayon voilà alors il ya une autre chose qu'on peut se demander c'est quelle est la distance que je ferais si je parcourais le tour du cercle s'il faisait le tour du cercle comme ça si je faisais ce tour là que je trace maintenant en bleu quelle distance j'aurais fait en fait c'est en quelque sorte le périmètre du cercle 1 mais bon ce périmètre dans le cas du cercle on l'appelle la circonférence la circonférence voilà donc c'est la distance qu'on mesurerait si on faisait le tour complètement du cercle un tour complet du cercle alors voilà on a vu qu'il y avait une relation simple entre le diamètre est le rayon et ce qu'est une relation entre la circonférence et le rayon alors ça c'est une question que l'homme a disposé depuis très longtemps puisque déjà il ya 5000 ans à peu près environ 5 8 ans dans toutes les grandes civilisations les égyptiens les chinois les indiens tout le monde sait à peu près demandé quelles étaient les relations entre la circonférence d'un cercle et son diamètre alors on va se mettre un petit peu dans la peau de ces deux séances avant de ses anciens temps et on va se donner un cercle ici voilà un cercle et on va mesurer son diamètre je dessine ici alors on retrouve à dire que quand on mesure la circonférence de ce cercle là que j'ai des signes ici on m'a trouvé trois à peu près à peu près 3 avec une précision c'est faible et puis on quand on mesure le diamètre des et bien on trouve ici dans ce cas là à peu près 1 à peu près voilà et puis on peut imaginer qu'on m'a fait la même mesure avec un autre cercle je dessinais ici un autre cercle un plus grand voilà et je vais tracé son diamètre et puis maintenant on va imaginer qu on a mesuré la circonférence de ce cercle 6 et qu'on a trouvé à peu près comme valeur pour cette circonférence une longueur de 6 voilà et puis quand on mesure le diamètre ici eh bien on trouve dans ce cas là que c'est à peu près 2 alors bon avec des unités de longueur mais c'est pas très important pour nous alors ce qu'on voit ici c'est que en fait quand on regarde le rapport entre la circonférence et le diamant le rapport de la circonférence au diamètre et bien dans ce cas là on trouve que ça ne ça fait 3 sur un an à peu près donc le rapport de la circonférence / le diamètre un rapport de la circonférence au diamètre c'est la circonférence / le diamètre bien dans ce cas là c'est à peu près 3 et puis dans ce cas la c6 eu à peu près 6 / 2 c'est à dire à peu près 3 aussi voilà alors ça c'est important parce que ça veut dire que ce qui est intéressant à regarder c'est le rapport entre la circonférence et le diamètre le rapport de la circonférence au diamètre de la circonférence au diamètre voilà alors ça c'est effectivement ce qu'ont fait les peuples anciens ils se sont tous demandé quel était le rapport entre la ciat de la circonférence au diamètre c'est une autre manière de se poser la question de la relation qui existe entre la circonférence et le diamètre mais ce qui est intéressant c'est que quand on fait deux exemples comme ça on voit que ce rapport de la circonférence de diamètre dans les deux cas ils étaient ils étaient à peu près égales enfin on il a la même valeur alors après on peut se demander on peut se poser cette question et vouloir la vérifier en faisant des mesures un peu plus précis cette fois ci on va dire qu'on a qu'on connaît précisément la longueur du diamètre et que cette longueur c1 alors quand on va ensuite mesuré la circonférence cette fois ci on va le mesurer un peu plus précisément tout à l'heure et on va obtenir qu'en fait c'est 3,1 3,6 à on pourrait leur faire on pourrait le faire avec plus de précision à dire prendre un cercle de diamètre 1 mesurer sa circonférence avec plus de précision et plus on mesurerait précisément plus on se rapprocherait d'un nombre qui aurait cette valeur là 3,14 15,9 et ainsi de suite avec des décimales de plus en plus précise si on avait une mesure de plus en plus précises alors ça c'est ce qu'on trouverait encore en prenant un cercle de rayons un de diamètre un pardon mais si on trouve si on faisait les mêmes mesures avec un cercle de diamètre 2 par exemple eh bien le rapport de la circonférence au diamètre ça serait toujours ce nombre-là selon la précision qu'on pourrait mesurer et voilà ce qui est important c'est que le rapport de la circonférence au diamètre dans n'importe quel cercle et bien c'est ce nombre-là ici 3 14 15 9 et ce nombre là on pourrait on ne le connaît pas complètement puisque on pourrait toujours à les calculer des décimales un peu plus précise que celle qu'on a ici alors ce nombre on l'a on a pris l'habitude de le nommer pis alors ça c'est une lettre grecque qui se lit pis voilà et c'est en fait en grec celle initiale du mot rim est sale ça vient de là comme c'est la circonférence d'un cercle de diamètre 1 eh bien on l'a nommé avec cette première lettre du mot périmètre puisque la circonférence c'est le périmètre d'un cercle voilà alors ce qui est très important c'est que cette valeur là c'est donc le rapport de la circonférence au diamètre dans n'importe quel cercle et puis ce qui est important aussi c'est que c'est un nombre qu'on ne peut pas connaître précisément puisqu'il a des décimales qui ne qui continue et qui ne se répète jamais ce son développement décimales n'est pas périodiques on a toujours des décimales qui sont imprévisibles et d'ailleurs il ya des mathématiciens dont le métier est de calculer des décimales du nombre pi et aujourd'hui on connaît un milliard ou 2 milliards je sais plus exactement enfin on connaît un nombre énorme de décimales de ce nombre pi mais on ne connaît pas le nombre pi précisément c'est pour ça qu'on l'indiquent par cette lettre pis voilà par cette lettre grecque pis alors c'est un nombre qui est donc un peu caché à nos yeux mais qui en plus intervient dans deux dans de très nombreux cas puisque et il intervenir on le trouve en fait dès qu'il ya une forme circulaire voilà donc ce nombre pi c'est quand même un nombre assez fascinant alors je verrai écrire ce que j'ai dit tout à l'heure puis on va déduire on va en déduire une formule on a dit que la circonférence le rapport de la circonférence au diamètre c'est à dire la circonférence / le diamètre c'est égal à ce nombre là pis donc là j'ai écrit pihem j'ai écrit son nom le nom qu'on lui a donnés j'aurais pu écrire 3.14 15,9 et continuer mais bon ça aurait été un peu une perte de 30 parce que je ne sais pas jusqu'où j'aurais continué en plus aurait pris beaucoup de place donc c'est pas très pratique là effectivement c'est beaucoup plus pratique puisque je donne j'écris le nom de ce nombre le nom qu'on a donné à ce nombre mais c'est ça revient au même qu écrire ce nombre-là sauf que c'est plus pratique alors maintenant une fois que j'ai écrit ça ben qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que je peux en déduire une formule qui va me donner la circonférence et bien la circonférence que j'appelle ici c'est ça va être égal à pie x le diamètre voilà ou alors comme le diamètre le diamètre c'est deux fois le rayon finalement on peut écrire que c'est la circonférence c'est pie x de rayons x de rayon ou alors ça alors cette formule là on l'écrit le plus souvent on la trouve écrite comme ça parce que c'est un peu plus joli de pi r donc la circonférence ces deux pie x le rayon c'est égal 2 pierre voilà alors je vais faire un petit peu pas un petit peu de place qu'on va faire un exemple voilà on va faire un petit exercice d'application de cette formule alors là par exemple je vais décider un cercle voilà je dessine un cercle et puis on va dire que son rayon ici c'est trois mètres alors le rayon que j'ai dessiné ici c'est 3 pour 3 mètres on va dire le rayon c3 mais bon il faut des unités de mesure c'est pour ça que je dis que c'est des maîtres ça pourrait être autre chose alors maintenant si je veux qu'à ce calcul et la circonférence bah je vais appliquer la formule que j'ai donné ici là la circonférence ces deux pays x le rayon donc je vais écrire comme ça la circonférence ces deux pie x le rayon le rayon qui est 3,3 m hélas comme l'ordre ne compte pas dans la multiplication là c'est deux fois pie x 3 donc je peux faire deux fois trois fois pis c'est à dire que ça fait 6 pi et ce sont des m 6 pi m alors là c'est une règle réponse tout à fait exact que je donne parce que ici rappelle toi le nombre ce que j'ai appelé pis si c'est un nombre c'est le nom de 3,14 15,9 et ainsi de suite donc là je donne une réponse en terme de ce nombre la pdt de ce nombre pi je pourrais faire le calcul je pourrais très bien faire le calcul en prenant une valeur approché par exemple ont nagé pas de calculatrices ici mais si je faisais le calcul ça serait donc six fois ce nombre là 3,14 à peu près 18 18 quelque chose ça serait du coup ça 18,0 gül quelque chose voilà donc on pourrait très bien le faire maintenant quand j'écris la réponse de cette manière là bas finalement je ne donne pas une valeur approché alors que si j'avais fait le calcul j'aurais été obligé à un moment donné d'arrêter d'écrire des décimales donc j'aurais donné une valeur approché alors maintenant on peut se demander aussi combien mesure le rayon le diamètre pardon alors le diamètre est bien le diamètre c'est tout simplement c'est le double c'est le double du rayon je vais le dessiner envers l'un donc le diamètre c'est le double c'est deux fois le rayon donc ici puisque le rayon c3 le diamètre c'est 6,6 m du coup on avait la circonférence c'était de pie x le rayon c'était 6 pi donc la circonférence ici on pourrait exprimer comme le diamètre fois puis c'est à dire si pis encore une fois voilà donc là le cercle qu'on avait dessiné ici son rayon ces trois mètres sa circonférence ses 6 pi et son diamètre c'est si m alors maintenant on va prendre les choses à l'envers on va dessiner un autre cercle voilà je vais dessiner un autre cercle ici et cette fois ci on va se dire que l'on connaît sa circonférence ici la circonférence c'est disons dit m voilà et si quelqu'un nous demandent de quel est le diamètre de ce cercle trouvait donc le diamètre est bien là on va encore une fois pouvoir appliquer la formule puisqu'on sait que la circonférence s'est dit m et on sait aussi que la circonférence cpie fois le diamètre donc on sait que finalement que pie x le diamètre c'est égal à 10 mètres puis c'est un nombre faut se rappeler de ce happy c'est un nombre ça vaut 3 14 15 9 et ainsi de suite c'est quand même un nombre donc il suffit qu'on divise par pi des deux côtés pour trouver le diamètre donc on va trouver finalement que dès ses 10 / pis m et là comme tout à l'heure on pourrait faire le calcul ce serait à peu près 10 pts / 3 donc à peu près ça serait 3,4 chose est bon j'ai pas de calculette main mais on pourrait le faire avec la calculatrice en aurait une valeur approché du diamètre qui dépendent dont la précision dépendrait de la précision qu'on a donnée pour pi mais là on dont on peut très bien laisser le résultat sous cette forme là puisque 10 / pipe c'est un nombre dont on peut calculer une valeur approché mais c'est un nombre donc on peut le laisser comme ça alors on peut aussi se demander quel est le rayon du coude de ce cercle alors le diamètre c'est tout ça le diamètre c'est tout ça est en fait le diamètre ces deux fois le rayon donc le rayon c'est cette distance là ici alors maintenant si je veux du coup trouvé le rayon ben je vais simplement partir du fait que est le rayon c'est la moitié c'est un demi de d donc comme je sais que dès le diamètre s'est dit surpris finalement le rayon ça va être un demi fois mange fait le crée en dessous parce que donc le rayon ça va être un demi x 10 sur pie et puis ici je peux simplifiée 10 et 2 x 5 donc je peux simplifiée par deux je vais avoir ici 1,5 donc finalement je trouve que rc5 sur pis voilà alors 5 sur pi comme tout à l'heure je peux tout à fait calculer la valeur en utilisant une approximation de pire en disant que peace et 3 14 15 9 par exemple eh ben je peux calculer 5 / 3 14 15 9 ça sera une valeur approché de 5 sur pie donc ça sera une valeur approché du rayon si je laisse comme ça en utilisant le nom du nombre pi et bien je garde une valeur exacte y'a rien de particulièrement de compliqué là dedans en fait je crois que ce qui ce qui dérange la plupart des gens c'est que on a on écrit pis avec cette lettre la pire cette lettre grecque ici et quand on écrit ça en fait on parle tout simplement d'un nombre c'est le nombre 3,14 15,9 et ainsi de suite c'est un nombre dont on ne peut pas connaître toutes les décimales d'ailleurs il ya des livres on pourrait écrire des livres entiers d y aura des livres sur le nombre pi les décimales du nombre pi pourrait remplir des livres entiers mais on n'aurait toujours pas fini de les énoncer tout est en fait voilà la chose qu'il faut vraiment comprendre c'est que quand on écrit pis c'est uniquement on écrit ce nombre là parce qu'on peut pas l'écrire en entier donc on écrit avec son nom écrit en écrivant son nom mais quand ensuite il faut calculer une valeur dont il suffit de prendre une valeur approché de ce nombre pi la plus souvent plus souvent en prend 3,14 3e 14 16 voilà on prend une valeur approché de ce nombre pi et ensuite on peut calculer une valeur approché de la circonférence du rayon ou du diamètre comme on l'a fait ici c'est vraiment ça qui est important à comprendre on utilise la lettre pis la lettre grecque pis pour représenter un nombre 3,14 15,9 et ainsi de suite