Triangle rectangle inscrit dans un cercle - Démonstration

alors ici j'ai dessiné un cercle de centre a et le segment b c'est ici c'est un diamètre donc ça je fais l'écrire baisser ja m et puis maintenant ce que je vais faire c'est passé un point n'importe où sur le cercle par exemple ici un point m et ce point m il me permet de dessiner un triangle voilà le triangle mcb que je dessine comme ça est ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est quelque chose d'assez important en fait on va démontrer que quel que soit l'endroit où on place le point m sur le cercle est bien le triangle qu'on obtient c'est un triangle rectangle et bon évidemment si les rectangles tu imagines bien qu'il ne peut l'être que ici en n donc on va démontrer que ce triangle à un angle droit ici alors ça pour l'instant je vais l'enlever c'était juste pour te montrer c'est la conclusion à laquelle on doit arriver donc c'est pas la peine que je le note tout de suite mais c'est notre objectif ici alors pour faire ça on va utiliser des résultats assez basique qu'on connaît sur les triangles et sur les angles inscrits alors pour fixer les idées je vais dire que ici par exemple on a un certain nombre qui a une mesure que j'appelle alpha ça peut être n'importe quelle valeur et tu vois quand fait l'angle mcb c'est un angle inscrits dans le cercle alors quand tu penses angle inscrit dans un cercle c'est pas mal comme réflexe de penser aussi à l'angle au centre qui intercepte le même arc ici notre angle mcb et bien ils interceptent cet arc de cercle mb que je dessine en bleu voilà c'est pas très joli mais l'idée est là on a bien un angle inscrits qui intercepte un arc de cercle est ce qu'on sait c'est que maintenant si on regarde l'angle au centre qui intercepte le même arc de cercle donc c'est cet angle-là l'angle m à b et bien la mesure de cet angle au centre et bien c'est le double de la mesure de l'angle inscrit donc ici cet angle là il a une mesure égale à deux fois alpha ça c'est un résultat général qu'on a déjà démontré dans d'autres vidéos alors maintenant il ya autre chose dont on va servir c'est que b c est un diamètre donc cette longueur la longueur à b et bien c'est un rayon du cercle de même que ici la longueur à n est un rayon du cercle aussi puisque m est située sur le cercle est assez le centre donc ici en fait ce qu'on a ce qu'on a dessiné ici le triangle m ab et isocèle celle en a pas très bien si tu veux je peux te dessiner ce triangle dans une position un peu plus habituelles voilà c'est quelque chose comme ça le sommet a ici gm par exemple est ici b donc cet angle là je sais que sa mesure c'est de alpha ici cette longueur là c'est le rayon sept longueurs là c'est le rayon aussi donc j'ai bien un triangle isocèle alors si le triangle et isocèle ça veut dire que ces angles à la base ont la même mesure donc cet angle là et cet angle là sont égaux alors je vais les appeler x tous les deux voilà qui ont la même mesure je peux les dessiner ici si tu veux il ya le premier qui est l'anglais m qui a pour mesure x et l'angle ambea pour mesure xo 6 alors maintenant on est dans un triangle donc on sait que la somme des angles doit être égale à 180 degrés ce qui va nous permettre de déterminer afin d'exprimer x en fonction d'eux alpha plus précisément je vais le faire si je calcule la somme des angles et bien j'ai donc x + 6 plus 2 alpha à doit être égale à 180 degrés c'est la somme des angles de ce triangle alors ici x + 6 a fait 2 x donc j'ai 2 x + 2 alpha qui est égal à 180 degrés et du coup 2x je vais soustraire deux alpha des deux côtés ça me donne 2 x égal 180 - 2 alpha et puis ici je vais divisé par deux des deux côtés et ça me donne x égale 180 divisé par deux sa fait 90 - 2 half a divisé par deux sa fait alpha donc cet angle là ici il a pour mesure 90 degrés - alpha alors maintenant ce qu'on peut faire c'est se placer dans l'autre triangle le triangle m ah c'est maintenant et celui ci est isocèle aussi puisque sept longueurs la has et c'est la moitié du diamètre donc c'est le rayon air donc le triangle est massé et isocèle élitiste elle en a aussi ce qui veut dire que ses angles à la base on la même mesure donc ici on a aussi un angle de alpha degré 1 donc l'anglais m est bien égale à langley en c on aurait pu aussi déterminé la mesure de cet angle exactement comme on l'a fait tout à l'heure en passant par les angles inscrits et ça aurait exactement pareil en tout cas là on a terminé puisque ce que je cherche moi c'est à déterminer la longueur la mesure par don de cet angle là et maintenant pour le faire il suffit que j'additionne ces deux angles donc l'angle en bleu que j'ai tracée en bleu l'angle cmb du coup et bien c'est alpha plus x donc alpha plus 90 - alpha ici les alfa s'annulent donc on n'obtient que cmb est égal à 90 degrés donc finalement ici quel que soit l'endroit où je place m sur le cercle et bien ce que j'obtiens c'est un triangle rectangle en m alors évidemment la condition c'est que un des côtés du triangle soit le un diamètre du cercle évidemment mais ce qui est important de bien comprendre c'est que c'est un résultat parfaitement général si on prend n'importe quel triangle dont un côté est le diamètre du cercle par exemple je peux dessiner un autre triangle ici comme ça voilà et bien ici là je vais avoir le droit de le faire aussi avec un autre point pour que tu te rendent bien compte de ce qui se passe ici si je prends le point m là par exemple eh bien ce triangle là il est aussi rectangle dans ce sommet la donc ici j'ai également un angle droit voilà c'est un résultat très très générale qu'on a réussi à démontrer de manière quand même assez simple