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Cours : Géométrie > Chapitre 14

Leçon 9: Tangente à un cercle

Démontrer qu'une droite est tangente à un cercle en utilisant des longueurs

Deux exercices.

Exercice 1

[O C]

est un rayon du cercle de centre

O

La figure n'est pas à l'échelle.

La droite $(A C)$ ‍ est-elle la tangente en $C$ ‍ au cercle de centre $O$ ‍ ?

(Choix A)
Oui, car $C$ ‍ est le seul point d'intersection de la droite $(A C)$ ‍ et du cercle.
(Choix B)
Oui, car $(A C)$ ‍ est perpendiculaire en $C$ ‍ à $[O C]$ ‍.
(Choix C)
Non, car $(A C)$ ‍ n'est pas perpendiculaire en $C$ ‍ à $[O C]$ ‍.
(Choix D)
Non car le triangle $A O C$ ‍ et le cercle ont deux points d'intersection.

Une

droite

est tangente à un cercle en un point équivaut à cette droite est perpendiculaire au

rayon

qui passe par ce point.

Pour démontrer que la droite

(A C)

est tangente en

C

au cercle, on étudie si le triangle

A O C

est rectangle en

C

On doit calculer la longueur

O A

Le segment

[B O]

est un rayon du cercle.

C O = 5

donc

B O = 5

. On en déduit que :

$A O = 8 + 5 = 13$ ‍

On vérifie si les carrés des longueurs des côtés du triangle

A O C

vérifient l'égalité de Pythagore.

\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & \overset{?}{=} A O^{2} \\ 11^{2} + 5^{2} & \overset{?}{=} 13^{2} \\ 146 & \neq 169 \end{aligned}

Donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle

A O C

n'est pas un triangle rectangle.

Non, $(A C)$ ‍ n'est pas tangente en $C$ ‍ au cercle de centre $O$ ‍, car $(A C)$ ‍ n'est pas perpendiculaire en $C$ ‍ à $[O C]$ ‍.

Exercice 2

[O C]

est un rayon du cercle de centre

O

La figure n'est pas à l'échelle.

La droite $(A C)$ ‍ est-elle la tangente en $C$ ‍ au cercle de centre $O$ ‍ ?

(Choix A)
Oui, car $C$ ‍ est le seul point d'intersection de la droite $(A C)$ ‍ et du cercle.
(Choix B)
Oui, car $(A C)$ ‍ est perpendiculaire en $C$ ‍ à $[O C]$ ‍.
(Choix C)
Non, car $(A C)$ ‍ n'est pas perpendiculaire en $C$ ‍ à $[O C]$ ‍.
(Choix D)
Non car le triangle $A B C$ ‍ et le cercle ont deux points d'intersection.

Une

droite

est tangente à un cercle en un point équivaut à cette droite est perpendiculaire au

rayon

qui passe par ce point.

Pour démontrer que la droite

(A C)

est tangente en

C

au cercle, on étudie si le triangle

A O C

est rectangle en

C

On doit calculer la longueur

O A

Le segment

[B O]

est un rayon du cercle.

C O = 12

donc

B O = 12

. On en déduit que :

$A O = 8 + 12 = 20$ ‍

On vérifie si les carrés des longueurs des côtés du triangle

A O C

vérifient l'égalité de Pythagore.

\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & \overset{?}{=} A O^{2} \\ 16^{2} + 12^{2} & \overset{?}{=} 20^{2} \\ 400 & = 400 \end{aligned}

Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

A O C

est un triangle rectangle en

C

Oui, $(A C)$ ‍ est la tangente en $C$ ‍ au cercle de centre $O$ ‍, car $(A C)$ ‍ est perpendiculaire en $C$ ‍ à $[O C]$ ‍.

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